巧用數學思想方法解選擇題

【摘 要】在高考數學試題中，選擇題位于卷首，占總分的三分之一I，它屬于“小”題，其解答 “不講過程”，其基本解答策略是：充分利用題干和選項所提供的信息作出判斷。選擇題的解決思想是：先定性后定量、先特殊后推理、先間接后直接、先排除后求解，其常用方法有直接法和間接法兩種。但高考題題量較大，如果所有的題都采用直接法不但時間不允許，而且有些題目根本無法解決，這是不明智之舉。因此要探究解選擇題的其它方法，盡量避免“小題大做”。在考場上，提高選擇題的解題速度，也是一種得分。

【關鍵詞】選擇題 數學思想方法

近年高考選擇題減少了偏題、怪題，適當增加了技巧性強且運算量大的題型，著力考查學生的邏輯思維與數學思想方法，以及觀察、分析、比較、選擇簡捷運算方法的能力，突出了對學生數學素養的考查。試題以認識型和思維型的題目為主，許多題目既可用通性、通法直接求解，也可用 “特殊”方法求解。

要想確保在有限的時間內，對10個選擇題作出有效的抉擇，解題方法的研究就顯得十分必要的。當然有關選擇題解題方法的研究，可謂是仁者見仁，智者見智。其中不乏真知灼見，現選擇部分實用性較強的方法，供讀者參考：

一、直接法

有些選擇題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的。這類題型可直接從題設的條件出發，運用已知條件、有關概念、性質、公理、定理、法則及相關公式等知識，通過準確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論。涉及概念、性質的辨析題或運算較簡單的題目常用此法。

【例1】、（2013年全國卷） 的內角 的對邊分別為 ，已知 ， ， ，則 的面積為（）

A、 B、 C、 D、

解析： ， ， 。由正弦定理 ，得 。 。 答案選（ ）

點評：直接法是解答選擇題最常用的基本方法。直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必能得出正確的答案。平時練習中應不斷提高用直接法解選擇題的能力，準確把握題目的特點。用簡便的方法巧解選擇題，是建立在扎實掌握“三基”的基礎上的。否則一味求快則會塊中出錯。

二、特殊值法

從題干（或選項）出發，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數或圖形位置，進行判斷。特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才能使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數等。

【例2】、（2008年山東卷）設集合A和B都是自然數集N，映射f：A，B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，則在映射f下，象20的原象是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

解析：由題意知對于A中n，應使2n+n=20，n可能取的值為2、3、4、5，故代入驗證即可。答案選（C）。

點評：特殊法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題，但用特例法解選擇題時，要注意以下兩點：

第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；

第二，若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解。

三、數形結合法

數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，使抽象思維和形象思維相結合，通過對圖形的理解和認識，建立抽象概念與具體形象的聯系，轉化為對用數學語言表達的數量關系的認識，實現由抽象到具體的轉化. 在解答選擇題的過程中，可先根椐題意，作出草圖，然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質，綜合圖象的特征，得出結論。圖形化策略就是以數形結合的數學思想為指導的一種解題策略。

【例3】、（2012年湖北卷）設函數 其中 表示不大于 的最大整數，如 ， 等。若直線 與函數 的圖像恰有三個不同的交點，則實數 的取值范圍是（）

A、 B、 C、 D、

解析： 恒過定點 ，

在同一直角坐標系中作出函數 的

圖像和直線 ，如圖所示，因

為兩個函數圖像恰好有三個不同的交點，

所以 ，故選（B）。

點評：涉及函數零點問題，一般有兩種題型，且都可以利用數形結合求解：（1）求解方程根的個數。畫出相關的兩個函數的圖像，則兩函數圖像的交點個數即是函數零點的個數；（2）討論圖像交點問題得參數范圍，如本例就是利用圖像中直線 與函數 圖像恰有三個不同的交點，得到實數 的取值范圍。

四、概念辨析法

概念辨析法是從題設條件出發，通過對數學概念的辨析，進行少量運算或推理，直接選擇出正確結論的方法。這類題目一般是給出一個創新定義，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性質，需要考生在平時注意辨析有關概念，準確區分相應概念的內涵與外延，同時在審題時多加小心。

【例4】、若對于定義在 上的函數 ，其圖像是連續不斷的，且存在常數 使得 對任意實數都成立，則稱 是一個“ 伴隨函數”。下列是關于“ 伴隨函數”的結論：① 不是常數函數中唯一一個“ 伴隨函數”；② 不是“ 伴隨函數”；③ 不是“ 伴隨函數”；④“ 伴隨函數”至少有一個零點。其中正確的結論個數是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

解析：由題意得，①正確，如 ，取 ，則 ，即 是一個“ 伴隨函數”；② 不正確，若 是一個“ 伴隨函數”，則 ，求得 且 ，矛盾；③ 不正確，若 是一個“ 伴隨函數”，則 ，求得 且 ，矛盾；④正確，若 是“ 伴隨函數”，則 ，取 ，則 ，若 任意一個為0，則函數 有零點；若 均不為0，則 異號，由零點存在性定理知，在區間 內存在零點，所以有兩個結論正確。故選（B）。

點評：函數的創新命題是新高考的一大亮點，此類題型是用數學符號、文字敘述給出一個教材之外的新定義，如本例中的“ 伴隨函數”，要求考生在短時間內通過閱讀、理解后，解決題目給出的問題。解決這類問題的關鍵是準確把握新定義的含義，把從定義和題目中獲取的信息進行有效整合，并轉化為熟悉的知識加以解決。

當然，僅僅有思路、方法還是不夠的，“解題思路、方法”在某種程度上來說，屬于理論上的“定性”，要想解具體的題目，還得運用科學、合理的方法，具體分析研究加以解決。