解讀高考中的空間動態幾何問題

在近年全國各地高考數學試卷中，立體幾何的考查一般為兩小一大，平均為22分左右。立體幾何著重培養學生的空間觀念及邏輯推理能力，其中的動態問題，要求學生用運動變化的觀點解決空間位置關系的判定與計算，對學生思維層次的要求較高，同時，動態幾何問題可培養學生的空間感和運動變化觀點，考查學生解決問題的綜合能力，常成為高考的創新試題，通過對高考試題的研究，本文選擇高考中常見的幾類動態型問題，剖析其具體求解策略。

1、曲面上的動態問題——短程線問題

短程線問題在高考中比較常見，在求折線長最小或求幾何體面上線段長的最小值時，常以直代曲，將立體圖形展開成平面圖形，化空間問題為平面問題。如：

例1（05年江西理科15題）如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分別為AA1、C1B1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的長度為 。

簡析：將上底面沿A1B1與面A1B展平，求出線段EF長度，將面BC1沿BB1與面A1B展平，求出線段EF的長，比較兩個值中較小的為最短路徑。本題容易不作比較直接給出錯誤的答案。

同類題比較：06年江西文科15題，06年江西理科15題等，可采用同樣的方法來解決。

2、平面圖形的翻折問題

將平面圖形翻折成空間圖形，既是實際應用問題的需要，又具有考察學生空間想象能力、邏輯推理、數學實踐、綜合分析問題能力的功能，因此，它是高考中的一種常見題型。如：

例2（08年重慶理科19題）如圖，在中，B=，AC=，D、E兩點分別在AB、AC上，使，DE=3，現將沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數表示）。

求解策略：此類問題總的難度并不太大，最關鍵的是要了解翻折前后的點、線、面之間的位置關系的變化情況。應注意以下幾點：（1）翻折后，若線與線同在一個平面內，則它們的位置關系不發生任何變化；（2）若翻折后，線與線由同在一個平面轉為不在同一平面內，則其位置關系應注意變化的結果是什么。

同類題比較：07年湖南理科18題，06年遼寧理科18題，山東理科12題，05年湖南理科17題，江西理科9題，浙江理科12題等。

3、幾何體在平面上的動態投影及三視圖問題

在運動變化中有一些特殊（或極限）位置，從特殊（或極限）位置著手，再動態觀察其變化過程，將直覺猜想與邏輯推理結合，可快捷流暢解決問題，體現一般與特殊的辯證關系。在新課程中引入三視圖的內容后，以三視圖為考點的題也會越來越常見。如：

例3（08年理科海南12題）某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，則+的最大值為（ ）

A、 B、 C、4 D、

簡析：本題考查三視圖的概念及平均值不等式。設棱為AB，取A（0，0，0），B（，，），則，正視圖中投影長為，，同理，，可得，，，所以+，故選C。

例4（02年北京理科15題）關于直角AOB在定平面α內的射影有如下判斷：①可能是0°的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是180°的角。其中正確判斷的序號是 _______（注：把你認為是正確判斷的序號都填上）

簡析：這是考查空間想象能力的一個優美試題，“把空間想象能力的考查與邏輯推理、模型化方法相結合，體現了運動變化的解題方法”（北京卷命題者原話）。

例5（06年浙江理科14題）正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是 。

簡析：本題考查正四面體、點在平面內的射影、線面關系等基礎知識，空間想象能力和推理能力。由已知得當CD⊥α時，所求面積最小為，當CD//α時，所求面積最大為。

演變題：平行光線照到一個棱長為1的正方體上，在正方體后面的平面上的投影的面積為S，則S的最大值為___________。

簡析：如圖，正方體的影子由三個平行四邊形（有的平行四邊形可能因光些的某些照射方向而蛻化成線段）組成，其面積等于2△A1BC1，當正方體的截面A1BC1與照射方向垂直時，正方體的投影的面積最大，易知此最大值為。

4、以探索為主的動態幾何題

探索性問題是一種具有開放性和發散性的問題，此類題目的條件或結論不完備。要求解答者自己去探索，結合已有條件，進行觀察、分析、比較和概括。它對學生的數學思想、數學意識及綜合運用數學方法的能力提出了較高的要求。它有利于培養學生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使學生經歷一個發現問題、研究問題、解決問題的全過程。

（1）條件追溯型：這類問題的基本特征是：針對一個結論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：執果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件，有時運算量會很大，這時也需通過判斷后大膽猜測，常見的猜想有：點的位置常為中點或三等分點，比值常為1或2等。

在“執果索因”的過程中，常常會犯的一個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作充分條件，應引起注意。

例6（05年浙江理科18題）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC。

（Ⅱ）當取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？

簡析：由已知及待求（證）進行合理的空間想象，是解決問題的關鍵，必要時可逆向分析倒推，尋找求解問題的切入點。

法一：OF⊥平面PBC，∵D是PC的中點，若點F是△ABC的重心，則B、F、D三點共線，∴直線OB在平面PBC內的射影為直線BD。∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB=BC，即=1。

反之，當=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐，所以O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心。

法二：利用重心分高線的比為1：2，結合方程思想可求解。

法三：建立空間坐標系利用空間向量來解。

同類題比較：（1）08年浙江理科18題：如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=，AD=，EF=2。

（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為？

該題難度不大，解題過程略過不提。

（2）2000年全國理科18題：如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且==。

（III）當的值為多少時，能使平面？請給出證明。

簡析：本題參考答案的兩種解法都是先猜想出比值為1，然后再證明線面垂直，該題若從結論出發，執果索因，也可以做出來，但就不一定合適了，因為運算量是相當的大。

（2）存在判斷型

這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數學對象（數值、圖形、函數等）是否存在或某一結論是否成立。解決這類問題的基本策略是：通常假定題中的數學對象存在（或結論成立）或暫且認可其中的一部分的結論，然后在這個前提下進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論。其中反證法在解題中起著重要的作用。如：

例7（08年福建理科18題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點。

（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由。

簡析：假設Q點存在，設QD，利用體積自等法求出，所以存在，且。

同類題比較：06年湖北理科18題，04年湖南理科19題。“存在”就是有，證明有或者可以找出一個也行。“不存在”就是沒有，找不到。這類問題常用反證法加以認證。“是否存在”的問題，結論有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需說明理由。這類問題常用“肯定順推”。

（3）條件重組型

這類問題是指給出了一些相關命題，但需對這些命題進行重新組合構成新的復合命題，或題設的結求的方向，條件和結論都需要去探求的一類問題。此類問題更難，解題要有更強的基礎知識和基本技能，需要要聯想等手段。一般的解題的思路是通過對條件的反復重新組合進行逐一探求。應該說此類問題是真正意義上的創新思維和創造力。

例8（07年上海理科10題）平面內兩直線有三種位置關系：相交，平行與重合。已知兩個相交平面與兩直線，又知在內的射影為，在內的射影為。試寫出與滿足的條件，使之一定能成為是異面直線的充分條件 。

簡析：（1）考慮到兩條異面直線在同一平面內的射影不可能是兩條重合直線，這樣，兩對射影的位置應有三種可能，平行與平行，相交與相交，平行與相交。那么，哪個位置關系能推出與異面呢？現逐一驗證，可排除平行與平行及相交與相交，故正確答案應為一對平行，一對相交。

（2）記所求充分條件為A，則原命題A=>與異面，現考查它的逆否命題：與共面=>┐A。若與平行，則在兩個相交平面內的射影平行或重合；若與相交，則在兩個相交平面內的射影相交或重合，故所求充分條件A應為一對相交，一對平行。

本題立意深遠、編制新穎，對空間想象、邏輯推理及分析能力都提出了較高要求，具有明顯的區分功能。

5、與其它學科交匯的空間動態幾何題

（1）活躍在空間圖形中的軌跡問題

在知識網絡交匯點處設計試題是這幾年高考命題改革的一大趨勢。而以空間圖形為素材的軌跡問題，由于具有其獨特的新穎性、綜合性與交匯性，創新能力與數學思想方法要求高，所以倍受命題者的親睞。例如：

例9（08年浙江理科8題）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）

（A）圓（B）橢圓（C）一條直線（D）兩條平行直線

簡析：P到AB距離為定值，則P在以AB為軸的圓柱面上，圓柱面被平面斜截，所得交線為橢圓，故選B。

同類題比較：（04年北京理科第4題）如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1，點P在平面ABB1A1內運動，且點P到直線BC與直線A1B1的距離相等，則P點的軌跡是下圖中的（）

簡析：不難發現BC與面ABB1A1垂直，則P點到直線BC的距離就等于P點到B點的距離。

于是，在面ABB1A1內，P點到直線A1B1的距離等于到點B的距離。由拋物線的定義知，P點的軌跡是以A為頂點，B為焦點的拋物線，考慮到軌跡取上半部分，故選C。

同類題比較：（04重慶理科12題）若三棱錐A—BCD的側面ABC內一動點P到平面BCD距離與到棱AB距離相等，則動點P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（）

簡析：設二面角A—BC—D大小為θ，作PR⊥面BCD，R為垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，則∠PQR=θ，且由條件PT=PR=PQ·sinθ，∴為小于1的常數，故軌跡圖形應選D。

演變題：已知P是正四面體S-ABC的面SBC上一點，P到面ABC的距離與到點S的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是（）

A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線

簡析：設二面角S-BC-A大小為θ，易得P到S與到BC的距離之比為sinθ，是一個小于1的常數，所以動點P的軌跡所在的曲線是橢圓。

同類題比較：04年天津文科第8題。求解策略：這類問題常常要借助于圓錐曲線的定義來判斷，常見的軌跡類型有：線段、圓、圓錐曲線、球面等。在考查學生的空間想象能力的同時，又融合了曲線的軌跡問題，是一種創新題。

（2）與函數及導數交匯的試題

近年來新教材引入了導數，在應用導數求單調性、最值方面的應用也突顯出來，在空間動態幾何問題上的應用也逐步提高。例如：

例10（07廣東理科19題）如圖6所示，等腰△ABC的底邊AB=6，高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點。點F在BC邊上，且EF⊥AB。現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。記，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積。

（1）求V（x）的表達式；

（2）當x為何值時，V（x）取得最大值？

（3）當V（x）取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。

簡析：本題以平面圖形折疊為背景，融空間動態最值問題、導數、異面直線所成角的計算于一體，編制頗有新意，通過函數與導數思想即可解決。

同類題比較：06江蘇理科18題帳篷體積問題。

涉及空間動態幾何也還有其他一些類型，如幾何體的拼、用平面圖形裁剪圍成幾何體的體積等等，不再一一列舉。面對空間動態幾何問題，要讓學生學會找到思維的切入點，一方面要培養空間想象能力，另一方面要把握運動變化的實質，即動中有靜的規律，便可做到舉一反三，事半功倍了。