萬有引力習題解析

【摘 要】高中數(shù)學新課程標準注重學生數(shù)學能力的提高，解題訓練是數(shù)學教學的重要組成部分，也是優(yōu)化學生思維，提高學生數(shù)學能力的重要手段。如何在教學的過程中讓學生形成一種解題策略是每一位高中數(shù)學教師需要關注的課題。本文對此進行了探討。

【關鍵詞】高中數(shù)學 解題 圓周運動

高中數(shù)學考查學生的能力最重要的便是解題能力，這決定了在高中數(shù)學教學中，必須大力加強數(shù)學解題思想的傳授，優(yōu)化學生思維，提高數(shù)學能力。下面本文以一個教學案例來探析高中數(shù)學解題方法。

兩個質(zhì)量均為m的星體A和B，其連線的垂直平分線為MN，O為兩星體連線的中點，如圖所示，一個質(zhì)量為mˊ的物體從O沿OM方向運動，則它受到的萬有引力大小變化情況是（）

A一直增大 B一直減小

C先減小，后增大 D先增大，后減小

解：一、定性分析：

（1）當mˊ在O點時：

A星體和B星體分別對mˊ的萬有引力有大小相等、方向相反、在同一條直線上等關系，根據(jù)平衡力關系得：

mˊ受到的合力為零。

（2）當mˊ沿著OM方向運動時：

星體A和星體B對mˊ的引力大小雖然相等，但方向不在同一直先上，它們的合成在AB方向上為零，MN方向上不為零，即mˊ受到的萬有引力的大小大于零。

（3）當mˊ沿著OM方向運動的距離遠大于AB 間的距離時：

對mˊ的引力可以認為是一個質(zhì)量為2m的星體對mˊ的吸引。根據(jù)萬有引力定律：F=GMm/r2得：

隨著r的增大，mˊ受到的引力變小，一直趨向于零。

總體分析可得，mˊ受到的萬有引力F隨著r的增大，先增大，后減小，故選D項。

二、定量分析：

解法一：

解：設AB間的距離為2d。

當mˊ和B的連線與MN方向成θ角時：0°<θ≤Π/2

mˊ所受的合力F=2Gmmˊcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmˊsin2θcosθ/d2

因為y=sin2θcosθ=（1-cos2θ）cosθ=cosθ-cos3θ，

假設cosθ=t，

y=t-t3

因為yˊ= -3（t2-），

當t2=時，yˊ=0，即y取最大值y=

所以當cosθ=時，F(xiàn)取最大值

F=4Gm mˊ/9d2

解法二：

解：設AB間的距離為2d。

當mˊ和B的連線與MN方向成θ角時：0°<θ≤Π/2

mˊ所受的合力F=2Gmmˊcosθ/（d/sinθ）2

=2Gmmˊsin2θcosθ/d2

因為2 Gmmˊ/ d2為常數(shù)，所以F的變化與sin2θcosθ的變化成正比。

當（sin2θcosθ）ˊ= 0時，sin2θcosθ有極大值或極小值。

∵（sin2θcosθ）ˊ= 0

∴ sinθ（2 cos2θ–sin2θ）= 0

又∵ sinθ0

∴ 2 cos2θ–sin2θ= 0

∴ tanθ = 即：θ= arctan

當arctan<θΠ/2時：

（sin2θcosθ）ˊ> 0 即：sin2θcosθ為增函數(shù)。

當arctan>θ時：

（sin2θcosθ）ˊ< 0 即：sin2θcosθ為減函數(shù)。

∴ θ由Π/2到0°的過程中，F(xiàn)先增大，后減小

并且當θ= arctan時，F(xiàn)有最大值為4Gm mˊ/9d2。