數(shù)學(xué)中幾道實際問題的探究

【摘 要】數(shù)學(xué)就在我們身邊，她是科學(xué)的語言，是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，是我們思考和解決問題的工具。在數(shù)學(xué)中得到的訓(xùn)練和修養(yǎng)會很好地幫助我們學(xué)習其他理論，數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高對于個人能力的發(fā)展至關(guān)重要。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)就在我們身邊，每個人每天都在自覺與不自覺中使用著數(shù)學(xué)，無論他是否懂數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)處處都能派上用場，小至日常瑣事的處理，如農(nóng)村大媽買菜賣菜，大到神舟宇宙飛船遨游太空，離開數(shù)學(xué)都將一事無成。大家都知道，農(nóng)民沒有農(nóng)具不能種田，工人沒有工具不能做工，軍人沒有武器不能打仗。我們學(xué)習數(shù)學(xué)手里也需要有工具，但是這里的“工具”是指概念、定義、定理、公理和公式等一些硬件式的東西。我們有了這些工具，接著就要探究思維方法，包括邏輯方法和具體的解題方法。數(shù)學(xué)能力的形成源于數(shù)學(xué)工具與思維方法的合成。當然靠機械地做題、考試是不能提升素質(zhì)與能力的，最重要的是如何將知識轉(zhuǎn)化成為個人的素質(zhì)與能力。

科學(xué)家本杰明。富蘭克林死后留下的財產(chǎn)只有1000英鎊，但竟留下一份分配幾百萬英鎊財產(chǎn)的遺囑。遺囑如下：“一千英鎊留給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么這筆應(yīng)該托付給一些挑選出來的人，他們把這錢按每年5﹪的利率借給一些年輕的手工藝者去生息。這款子過了100年增加到31000英鎊，我希望，那時候用100000英鎊來建立一所公共建筑，剩下的31000英鎊拿去繼續(xù)生息100年，在第二個100年末了，這筆款增加到4061000英鎊，其中1061000英鎊還是由波士頓居民來支配，而其余300000英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理，過此之后我可不敢多作主張了。”富蘭克林的這個遺囑顯然不是信口開河，這個問題用指數(shù)函數(shù)來解是行的通的。

把實際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實際問題時，所得出的關(guān)于實際問題的數(shù)學(xué)描述就是數(shù)學(xué)模型。具體函數(shù)的應(yīng)用在生活中有很多體現(xiàn)，重點是運用一次函數(shù)，二次函數(shù)，分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)來解決問題。 數(shù)學(xué)模型剔除了事物中一切與研究目標無本質(zhì)聯(lián)系的各種屬性，在純粹狀態(tài)下研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，函數(shù)就是最重要的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)解決方程問題，使求解變得容易進行，這是數(shù)學(xué)模型間的相互轉(zhuǎn)換在發(fā)揮作用。而用函數(shù)解決實際問題，則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。

這道題是對數(shù)據(jù)進行函數(shù)模擬，選擇最符合的模擬函數(shù)，就一般的數(shù)學(xué)建模來說，是離不開假設(shè)的，如果在問題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè)，將 所有的變化因素全部考慮進去，對于稍復(fù)雜一點的問題就無法下手了。假設(shè)可以進一步明確模型中需要考慮的因素和它們在問題中的作用。通常，初步接觸一個問題，會覺得圍繞它的因素非常多，經(jīng)仔細分析篩查，發(fā)現(xiàn)有的因素并無實質(zhì)聯(lián)系，有的因素是無關(guān)緊要的，排除這些因素，問題則越發(fā)清晰明朗。在假設(shè)時就可以設(shè)這些因素不需考慮。一般情況下，是先在最簡單的情形下組建模型，然后通過不斷地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地接近實際，得到更滿意的解。

我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的模型，在通過比較他們的增長情況，為選擇方案的依據(jù)。

解：設(shè)第 天的回報為 元，則方案一可以用 進行描述，方案二可以用 進行描述，方案三可以用 進行描述，要對三個方案進行選擇， 就要對增長情況進行分析。作出相應(yīng)的圖形，發(fā)現(xiàn)當自變量變得很大時，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長得快。

在沒有給出具體模型的問題中建立函數(shù)模型，函數(shù)圖像是分析問題的好幫手。首先畫出散點圖，然后根據(jù)散點圖描繪出函數(shù)草圖，聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象預(yù)測可能的函數(shù)模型，最后要檢測所求函數(shù)模型與實際誤差的大小，在多個模型中選擇最優(yōu)模型。根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖；通過考察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線，這就是關(guān)于函數(shù)擬合與預(yù)測的主要步驟。如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上，每一個點都不漏下，那么這將是個十分完美的事情。但在實際應(yīng)用中，這種情況是不可能發(fā)生的。因此，使實際點盡可能均勻分布在直線或曲線兩側(cè)，使兩側(cè)的點大體相等，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了。根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式。利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制，為決策和管理提供依據(jù)。

【參考文獻】

[1]《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修1教師教學(xué)用書A版》.

[2]《狀元筆記教材詳解高中數(shù)學(xué)必修1》，科學(xué)出版社.