期貨最優(yōu)套期保值比率估計與二叉樹期權(quán)定價之原理與實證

摘要：自2010年4月中國金融期貨交易所推出滬深300股指期貨以來，套期保值者無疑為期指市場上重要參與者，文章在對普通最小二乘法、誤差修正法、BGARCH法等進行簡要介紹的基礎(chǔ)上，試圖探尋實證中之最優(yōu)套期保值比率；在2014年券商創(chuàng)新大會上，以中信證券等為首的個股期權(quán)業(yè)務(wù)已提上日程，文章試圖通過實例對二叉樹期權(quán)定價原理進行簡要介紹。

關(guān)鍵詞：期貨；最優(yōu)套期保值；二叉樹；期權(quán)；定價

一、期貨最優(yōu)套期保值比率之估計

（一）幾個相關(guān)術(shù)語

1. 套期保值

期貨套期保值是指把期貨市場當(dāng)作轉(zhuǎn)移價格風(fēng)險的場所，利用期貨合約作為將來在現(xiàn)貨市場上買賣商品的臨時替代物，對其現(xiàn)在買進準備以后售出商品或?qū)硇枰I進商品的價格進行保險的交易活動。期貨套期保值可以分為多頭套期保值和空頭套期保值。

2. 期貨最優(yōu)套期保值

期貨最優(yōu)套期保值：即在符合基本套期保值策略的前提下，盡可能使得套期保值組合之方差最小。試以h表示套期保值比率值，Nf為所賣空之期指合約之份數(shù)，NA為期末現(xiàn)貨資產(chǎn)之份數(shù)，從而有h=，此外，亦試以S1為起初現(xiàn)貨之價格，S2為期末現(xiàn)貨之價格；F1為期初期指之價格，F(xiàn)2為期末期指之價格，從而自然有期末現(xiàn)金流凈流入為Y=S2N2-（F2-F1）NF，該式亦可改寫為Y=S1NA+（S2-S1）NA-（F2-F1）NF，聯(lián)立h之定義式并整理得有Y=S1NA+NA（ΔS-hΔF），顯然當(dāng)后半部分方差極小時，期末現(xiàn)金流方差亦達極小，后半部分方差可算得系ν=σ+h2σ-2hρσSσF，我們通過對該式求導(dǎo)從而得到最優(yōu)套期保值比率h*==ρ

3. 普通最小二乘法之估計

普通最小二乘法系線性回歸之基礎(chǔ)方法，試記ΔSt為現(xiàn)貨價格之變動額，ΔF記為期指價格之變動額，從而關(guān)于兩者之變動額可構(gòu)建包含h之普通最小二乘之回歸模型，亦即ΔSt=c+h*ΔFt+εt

4. 誤差修正法之估計

考慮到經(jīng)典的普通最小二乘法系建立在原始數(shù)據(jù)相對平穩(wěn)之基礎(chǔ)上的，然而實證數(shù)據(jù)往往難以嚴格遵守平穩(wěn)之假設(shè)，從而可能存在所得解次優(yōu)化之現(xiàn)象，從而我們應(yīng)當(dāng)對普通最小二乘法進行相應(yīng)優(yōu)化，以撫平數(shù)據(jù)非平穩(wěn)對結(jié)果之影響，具體系通過兩步法予以解決的，即先對原始數(shù)據(jù)進行協(xié)整回歸St=α+bFt+εt，然后通過誤差修正法進行估計，即ΔSt=αt-1+βΔFt+δiΔFt-i+θjΔSt-j+et

5. BGARCH法之估計

BGARCH之均值方程為ΔSt

ΔFt=Cs

Cf+δSZt-1

δfZt-1+εs，t-1

εf，t-1，方差方程為νec（Ht）=C+A·νec（εt-1εt-1'）+B·Ht，其中C為3×1的參數(shù)向量；A和B均為3×3的系數(shù)矩陣，νec（Ht）=νec（C'C）+νec（Aεt-1εt-1'A）+νec（B'Ht-1B）（Ht=hss，t hsf，t

hsf，t hff，tC=C11 C12

0 C22、A=α11 0

0 α22、B=β11 0

0 β22）

6. 期貨套期保值比率之評價

根據(jù)定義，我們可用=Var（ΔS）+（h*）2Var（ΔF）-2h*Coν（ΔS，ΔF）對所求h值進行評價。

（二）實證檢驗

本例中我們選取上海商品交易所之軋板主力，使任一觀測均包含作為現(xiàn)貨價格之變動額的ΔSt，以及作為期指價格之變動額ΔF，分別用F表示期貨數(shù)據(jù)集，用S表示現(xiàn)貨數(shù)據(jù)集。

1. 普通最小二乘法之估計

根據(jù)ΔSt=c+h*ΔFt+εt，以現(xiàn)貨價格之變動額ΔSt作為被解釋變量，以期指價格變動額ΔF作為解釋變量，構(gòu)建回歸方程。

整理上式可得普通最小二乘估計方程為 ΔSt=-4.213742+0.265160ΔFt+εt，常數(shù)項C未通過顯著性檢驗；而解釋變量通過T檢驗，即解釋變量存在一定程度上解釋力，此外方程總體線性顯著性尚可，但方程擬合效果相對較低。根據(jù)ΔSt=c+h*ΔFt+εt定義，本實驗得到的套期保值比率h為0.265160。

2. 誤差修正之估計

若樣本觀測值未能符合數(shù)據(jù)平穩(wěn)性之假設(shè)，則實證結(jié)果可能出現(xiàn)次優(yōu)化之現(xiàn)象，因此我們首先對樣本分別進行平穩(wěn)性檢驗。從autocorrelation值未能顯著收斂于零軸之結(jié)果而言，可以初步認為原數(shù)據(jù)集不符合平穩(wěn)性假定。下面我們進行augmented Dickey-Fuller Unit Root Test，從結(jié)果不難看出，期貨價格F系屬一階單整數(shù)據(jù)集。同理我們亦發(fā)現(xiàn)對于現(xiàn)貨價格S而言，其亦屬一階單整數(shù)據(jù)集。

在明確現(xiàn)貨與期貨價格均系一階單整前提下，我們先對St=a+bFt+εt進行協(xié)整回歸，得到如下式之回歸方程：St=48.62354+0.946532Ft+εt，解釋變量符合顯著性檢驗，常數(shù)項相對不顯著，但方程總體線性檢驗亦十分顯著。此時我們通過對殘差e進行augmented Dickey-Fuller Unit Root Test，結(jié)果顯示殘差項不含單位根，因此我們可用殘差項對原數(shù)據(jù)集進行修正，以試圖消除樣本觀測非平穩(wěn)造成之負面影響。

下面我們根據(jù)ΔSt=αt-1+βΔFt+δiΔFt-i+θjΔSt-j+et對原方程進行線性回歸。所得結(jié)果為ΔSt=-4.765132+0.767814ΔFt-0.432567ECMt-1+εt，其中除常數(shù)項仍然不顯著外，解釋變量ΔFt與殘差項ECMt-1均通過了變量顯著性檢驗，且該式亦通過了方程總體線性檢驗，此外相較于普通最小二乘法而言，ECM估計之回歸方程擬合優(yōu)度較OLS估計有相當(dāng)程度上之提升。根據(jù)定義，根據(jù)誤差修正法所得之套期保值比率為0.767814。

3. BGARCH之估計

根據(jù)方法論，在進行BGARCH估計之前我們應(yīng)當(dāng)先對誤差修正模型所產(chǎn)生殘差進行ARCH效應(yīng)檢驗

爾后根據(jù)常數(shù)相關(guān)系數(shù)二元GARCH模型（CCC-BARCH）對ΔS以及ΔF分別進行估計，并對兩者所對應(yīng)的殘差序列予以保存，后求出兩變量殘者之相關(guān)系數(shù)，后可算得套期保值比率為0.797851，即對應(yīng)于1單位現(xiàn)貨資產(chǎn)，可用0.797851單位期貨資產(chǎn)予以套保。

4. 套期保值比率之評價

根據(jù)上文，我們已分別得到根據(jù)普通最小二乘法所得估計系0.265160，通過誤差修正法所得估計為0.767814，以及通過BGARCH法所得估計為0.797851，我們可以通過比較不同套保組合收益率方差對套期保值比率進行評價，具體為普通最小二乘法收益率方差為Var

，誤差修正法收益率方差為Var

，BGARCH法收益率方差為Var

，以及未使用上述方法所構(gòu)組合收益率方差為Var

即Var

。

從上表不難看出，未經(jīng)過套保之套保組合所對應(yīng)的組合收益率波動性最大，其次分別是普通最小二乘法之套保組合，誤差修正法之套保組合，以及BGARCH套保組合，因此可以認為，通過BGARCH方法所確定的套期保值比率0.797851，即每一單位現(xiàn)貨資產(chǎn)對應(yīng)于0.797851份期貨資產(chǎn)，可達到相對最優(yōu)之套保組合。

二、二叉樹期權(quán)定價方法

（一）幾個相關(guān)術(shù)語

1. 單期二叉樹期權(quán)定價

假設(shè)：看漲期權(quán)的基礎(chǔ)資產(chǎn)的現(xiàn)在價格為S，期權(quán)的有效期為Dt，在期權(quán)到期日，基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格或者上漲至現(xiàn)在價格的u倍，或者下降至現(xiàn)行價格的d倍。這里u>1，d<1，設(shè)當(dāng)前的看漲期權(quán)價格為C，在基礎(chǔ)資產(chǎn)的上述兩種變化之下，期價值分別為Cu和Cd，看漲期權(quán)的執(zhí)行價格為K。

顯然Cu=max（uS-K，0），Cd=max（uS-K，0）。為了求解出期權(quán)的價值C，我們可以構(gòu)造投資組合：以價格C賣出一份看漲期權(quán)；買入h份基礎(chǔ)資產(chǎn)，其中h系一未知數(shù)，h的大小要保證該投資組合為一個無風(fēng)險的投資組合，即無論市場如何變化，該投資組合在到期日之價值系確定。因此，在到期日，如果基礎(chǔ)資產(chǎn)價格上漲，投資組合的最終價值為huS-Cu；基礎(chǔ)資產(chǎn)價格下跌，投資組合最終價值為hdS-Cd，基礎(chǔ)資產(chǎn)與期權(quán)組合的價格走勢如表2所示。

此外，根據(jù)無套利思想，應(yīng)該有：huS-Cu=hdS-Cd ，則有h=考慮在期權(quán)有效期里的利率收入的話，假設(shè)無風(fēng)險利率為r，那么以投資組合的當(dāng)前價值hS-C進行無風(fēng)險投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)該和該投資組合的最終價值相等，即有：erΔt（hS-C）=huS-Cu，聯(lián)立上式便有C=，其中，P=，P系風(fēng)險中性概率。在市場無套利機會存在的情況下，可以證明有d

2. 多期二叉樹期權(quán)定價

C=

C=Pk（1-P）n-kmax（ukdn-kS-K，0），其中，k，n-k分別為n期中基礎(chǔ)資產(chǎn)價格上漲和下跌的次數(shù)。

（二）實證檢驗

本例依據(jù)期權(quán)全真模擬交易數(shù)據(jù)《600104C1406M01200》合約2014年以來之期權(quán)數(shù)據(jù)，以周K線作為分析單位，可測得原生資產(chǎn)周收益率均值為0.3048%，標準差系0.034656，換算成年標準差系0.2499，并根據(jù)d=，u=e，以及P=算出相應(yīng)上漲倍數(shù)、下跌倍數(shù)以及風(fēng)險中性概率。

爾后，我們便可利用二叉樹模型測得每個結(jié)點之股票價格，即先將目前股票價格輸入至單元格C39中，為了方便以后的運算，

我們在命令框輸入“=+B30\"。在單元格D38中，輸入公式“=+C39*$B$40\"，其含義為，股票的市場初始價格乘以u，生成股票價格上升后的價格。在下降的情況下，股票價格應(yīng)該為初始價格乘以 對 d，相應(yīng)的公式為“=+C39*$B$41\"，把該公式輸入到單元格D40中，接下來，在單元格E37、E39和E41中，分別輸入“=+D38*$B$40\"、\"=+D38*$B$41\"及\"=+D40*$B$41\"，之后在后面各列中應(yīng)該輸入的公式以此類推，直到填滿了10個時期的所有可能的股票價格。

在完成上述過程之后，選中單元格L31，這個單元格中，我們將用來顯示與單元格L30相對應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的價格，同樣的，對于每一個結(jié)點，我們都會將其對應(yīng)的期權(quán)價格顯示在它下面的一個單元格中。在單元格L31中，我們輸入Excel公式“=+MAX（L30-$B$31，0）\"，在L列的其他單元格內(nèi)以此類推，向下填充，直至把每一個節(jié)點對應(yīng)的期權(quán)價格填滿。

爾后，向前遞推，如第九列的期權(quán)價格=[第十列期權(quán)價格*風(fēng)險中性概率+第十列另一期權(quán)價格*（1-風(fēng)險中性概率）]*EXP（無風(fēng)險利率*到期日/250/期數(shù)），通過不斷向前遞推填充整個表格，得以確定所求期權(quán)在期初之理論價格。

（作者單位：許祐瑋，武漢大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院；張心怡，上海外國語大學(xué)國際金融貿(mào)易學(xué)院）