幾何學革命

幾何學是數學科學中最古老、最成熟的一個分支.直到18世紀，還是由歐幾里得幾何一統天下，即使解析幾何出現了，也未改變歐氏幾何的實質內容.進入19世紀，一場幾何學領域的革命悄然開始了.

對于第五公設的思考

古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》中給出了五個公設（卷首介紹），其中第五個公設是“同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小于180°，則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交”.長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見.有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第29個命題中才用到，而且以后再也沒有使用.也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前28個命題.因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？還有的數學家們又嘗試用反證法討論第五公設.到了19世紀上半葉，數學家們認識到，應該否認第五公設，引入新的幾何理念，這就是幾何革命的開始，非歐幾何也隨之誕生.

非歐幾何的誕生

德國數學家高斯否定了第五公設，從1813年開始建立新的幾何學，并定名為“非歐幾何”.可惜他生前有關的信件和筆記一直沒有發表，直到去世后才引起人們的注意.

羅巴切夫斯基的非歐幾何

首先有系統著作發表的要算俄國數學家羅巴切夫斯基（ 1792 -1856）.1826年，他在喀山大學宣讀了關于幾何原理概述的論文.1829年，他又在《喀山通報》上發表《論幾何原理》，這成為世界上最早發表的非歐幾何文獻.新幾何學公布后，遭到許多人的攻擊，被指責為“荒唐的笑話”.但他卻始終不妥協，表現出非凡的勇氣.羅巴切夫斯基晚年雙目失明，仍以口述的方式完成他最后的著作《泛幾何學》，對非歐幾何給出了全新的說明.因此，現在人們把由他發展的非歐幾何稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱“羅氏幾何”.

三種幾何的比較

非歐幾何的產生和發展，引起了人們對數學本質的深入探討，影響著現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展.

黎曼的非歐幾何

1854年，德國數學家黎曼（ 1826 - 1866）在哥廷根大學作了題為《關于幾何基礎的假設》的報告，提出了另一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的新幾何體系.現在人們稱它為黎曼幾何，簡稱“黎氏幾何”.

黎曼是世界數學史上最具獨創精神的數學家之一，為數學的發展立下了豐功偉績. 他一生中發表的論文著作雖然不多，卻異常深刻，篇篇堪稱經典.他是復變函數論的奠基人.在素數分布中，他提出的“黎曼猜想”，是數學中懸而未決的最重要的猜想.