談“冪的運(yùn)算”中的整體代入法

七年級(jí)下冊(cè)蘇科版數(shù)學(xué)教材第50頁(yè)例2（2）：計(jì)算：（a3）3·（a4）3. 今天我們就從這道小計(jì)算題說(shuō)起，一起探究?jī)绲倪\(yùn)算中整體代入求值法的使用.

一、 解題方法

解法一：（課本提供的解法）

【解析】教科書(shū)上的解法中首先運(yùn)用了冪的乘方公式（am）n=amn，然后應(yīng)用了同底數(shù)冪的乘法公式am·an=am+n.

解：（a3）3·（a4）3=a3×3·a4×3=a9·a12=a9+12=a21.

解法二：（學(xué)習(xí)完積的乘方后可以使用）

【解析】積的乘方公式為（ab）n=anbn，觀察題干發(fā)現(xiàn)兩部分都含有3次方，逆用公式anbn=（ab）n得：（a3）3·（a4）3=（a3·a4）3，再應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法公式和冪的乘方公式即可得到結(jié)果.

解：（a3）3·（a4）3=（a3·a4）3

=（a3+4）3=（a7）3=a21.

二、 整體代入法

對(duì)課本例題稍加變化有下面例題：

例1 若已知a3=2，求（a3）3·（a4）3的值.

【解析】以現(xiàn)有知識(shí)，已知a3=2，無(wú)法求出a的具體值，但式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為a21，逆用冪的乘方公式（am）n=amn可得a21=a3×7=（a3）7，此時(shí)可以把a(bǔ)3看作一個(gè)整體，代入后即可得到結(jié)果.

解：（a3）3·（a4）3=a21=（a3）7=27=128.

除此之外本題還有其他的處理方式：

我們知道（am）n=amn，而（an）m=amn，所以（am）n=（an）m，因而（a4）3=（a3）4，原式可以變化成（a3）3·（a3）4，此時(shí)把a(bǔ)3看作一個(gè)整體進(jìn)行同底數(shù)冪的運(yùn)算可得：

（a3）3·（a3）4=（a3）3+4=（a3）7，此時(shí)再把a(bǔ)3=2代入即可得到答案.

解：（a3）3·（a4）3=（a3）3·（a3）4

=（a3）3+4=（a3）7=27=128.

無(wú)論用哪種方法處理例1，最終都是把a(bǔ)3看作一個(gè)整體進(jìn)行代入求值. 像這種把一個(gè)式子看作一個(gè)整體代入求值的方法，我們稱之為整體代入法.

三、 變式訓(xùn)練

通過(guò)第二部分的閱讀，我們已經(jīng)知道了什么是整體代入法，并對(duì)整體代入法有了初步的了解，下面通過(guò)變式訓(xùn)練來(lái)鞏固對(duì)這種方法的應(yīng)用.

例2 若ax=2，ay=3，求ax+y的值.

【解析】同底數(shù)冪的乘法公式為am·an=am+n，逆用公式可得：ax+y=ax·ay，把a(bǔ)x=2，ay=3整體代入即可得到答案6.

變式1：若ax=2，ay=3，求ax-y的值.

解：ax-y=ax÷ay=2÷3=.

變式2：若ax=2，ay=3，求a2x+3y的值.

【解析】逆用同底數(shù)冪的乘法公式可得：a2x+3y=a2x·a3y，如果求出a2x與a3y的值，問(wèn)題就迎刃而解了. 逆用冪的乘方公式可得a2x=（ax）2=22=4，a3y=（ay）3=33=27，所以a2x+3y=4×27=108.

變式3：若ax=2，ay=3，求a2x-3y的值.

解：a2x-3y=a2x÷a3y=（ax）2÷（ay）3=22÷33=.

變式1與變式2是關(guān)于冪的運(yùn)算的綜合運(yùn)用，其中不僅涉及整體代入法的處理，也考查大家對(duì)公式的熟練程度，特別是公式的逆用，要常記心頭.

四、 拓展提高

例3 已知2x+3y=7，a=2，求a2x+3y的值.

【解析】有了前面的整體代入法的鋪墊，同學(xué)們?cè)俳鉀Q這個(gè)問(wèn)題就比較容易了，把2x+3y看作一個(gè)整體，a2x+3y=27=128.

拓展1：已知2x+3y-7=0，a=2，求a2x+3y的值.

拓展2：已知4x+6y-14=0，a=2，求a2x+3y的值.

【解析】對(duì)于拓展1，由2x+3y-7=0可以得出2x+3y=7，即轉(zhuǎn)化成例3.

對(duì)于拓展2，在等式4x+6y-14=0的兩邊同時(shí)除以2得到2x+3y-7=0，可以得出2x+

3y=7.

如果直接呈現(xiàn)拓展2，題目的難度是比較大的，難題只不過(guò)是從最簡(jiǎn)單的題目變化而來(lái)，學(xué)會(huì)把復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單題目是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

拓展3：已知m+n-1=0，x=5，求x2m+3n的值.

解：因?yàn)閙+n-1=0，等式兩邊同時(shí)乘2得：2m+3n-2=0，所以2m+3n=2，所以x2m+3n=

52=25.

我們從課本上的例題出發(fā)，重點(diǎn)談了整體代入法的使用，這只是冪的運(yùn)算中的幾個(gè)例題，在以后的學(xué)習(xí)中大家還會(huì)遇到很多的可以利用整體代入法解決的題目，同學(xué)們要注意積累經(jīng)驗(yàn)，提高能力.

（作者單位：山東省青島市嶗山區(qū)第三中學(xué)）