思想引領(lǐng)，解題方便

眾所周知，思想是行動的指南，數(shù)學(xué)解題亦是如此，這句話在本章中體現(xiàn)得尤為明顯. 為了幫助同學(xué)們很好地復(fù)習(xí)這一章的內(nèi)容，本文以近幾年的中考試題為例，詳細(xì)介紹幾個重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.

一、 分類討論思想

數(shù)學(xué)中的分類討論思想，也稱分情況討論，當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時，我們就需要對這一問題進(jìn)行必要的分類.將一個數(shù)學(xué)問題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合.分類討論是根據(jù)問題的不同情況分類求解，它體現(xiàn)了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法.分類討論思想不僅可以使我們有效地解決一些問題，同時還可以培養(yǎng)我們的觀察能力和全面思考問題的能力.

例1 （2013·山東煙臺）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為（ ）.

A. 5 B. 5或6

C. 5或7 D. 5或6或7

【解析】根據(jù)“一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形”可知，形成的新多邊形的邊數(shù)沒有說明白，那么，就要根據(jù)不同情況進(jìn)行分類討論了.僅就五邊形為例，截去一個角后就有三種情況，可以得到四邊形、五邊形和六邊形，如圖1.

那么，對于本題，也是如此. 即設(shè)新多邊形的邊數(shù)為n，則根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，有

（n-2）×180°=720°.

解得n=6.

然后進(jìn)行分類：

①若截去一個角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為5；

②若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為6；

③若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為7.

所以，多邊形的邊數(shù)可以為5， 6或7. 故選D.

【評注】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，分三種情況進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

二、 整體思想

有一些數(shù)學(xué)問題，如果從局部入手，難以各個突破，但若能從宏觀上進(jìn)行整體分析，運用整體思想方法，則常常能出奇制勝，簡捷解題. 整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或整體特征，從而對問題進(jìn)行整體處理的解題思想. 這種思想在初中數(shù)學(xué)中的很多方面有著很好的應(yīng)用，因此，在每年的中考中涌現(xiàn)了許多獨特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識方面具有獨特的作用.

例2 （2013·泰安）如圖2，五邊形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分別是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3等于（ ）.

A. 90° B. 180°

C. 210° D. 270°

【解析】要求∠1+∠2+∠3的大小，不能分別求出它們各個角的度數(shù)，故可以將它們看作一個整體來求. 容易發(fā)現(xiàn)，∠1、∠2、∠3是這個五邊形的三個外角，然后聯(lián)想“多邊形的外角和為360°”，那么只需求出另外兩個外角（或它們的和）的度數(shù)即可.故延長后得到另兩個外角∠4和∠5，如圖3. 根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠4+∠5=180°，從而得到以點B、點C為頂點的五邊形的兩個外角的度數(shù)之和等于180°，最后根據(jù)多邊形的外角和定理即可解得.

【評注】本題從表面上來看，好像無法求解. 如果將∠1+∠2+∠3看做一個整體，再聯(lián)想多邊形的外角和定理，問題就很容易得到解決. 故用好整體思想，理清求解思路是解題的關(guān)鍵.

三、 方程思想

在本章的習(xí)題中，有很多利用設(shè)角、邊或邊數(shù)為未知數(shù)，利用題目中的等量關(guān)系建立方程來解決問題. 這種利用方程（組）來思考和解決幾何問題的思想就是方程思想.

例3 （2013·貴州省黔東南州）在△ABC中，三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B，則∠B=_______度.

【解析】在三角形中，有內(nèi)角和為180°，這是一個隱含條件. 一般地，要求∠B的度數(shù)，還需要兩個獨立條件. 可是題目中只給出了一個條件，那么，需要將這個條件做處理才能達(dá)到目的. 仔細(xì)觀察∠B-∠A=∠C-∠B可知，先將它整理得到∠A+∠C=2∠B，然后將∠A+∠C看作一個未知數(shù)，將∠B看成另一個未知數(shù)，于是可得方程組，則∠B可求.

解：60.

【評注】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，求出∠A+∠C=2∠B得到方程組是解題的關(guān)鍵.

四、 數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)模型就是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是使用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子及數(shù)學(xué)關(guān)系對現(xiàn)實原型作一種簡化而本質(zhì)的刻畫. 數(shù)學(xué)模型方法是把所要解決的實際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求解數(shù)學(xué)問題，使實際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法. 數(shù)學(xué)建模思想方法作為數(shù)學(xué)的一種基本方法，滲透在初中數(shù)學(xué)教材的各個知識板塊當(dāng)中，在本章中也不例外. 同學(xué)們學(xué)習(xí)掌握這種思想方法是完成學(xué)習(xí)任務(wù)和繼續(xù)深造學(xué)習(xí)必備的基本能力.

例4 （2012·江西省）如圖4，有a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線（ ）.

A. a戶最長 B. b戶最長

C. c戶最長 D. 三戶一樣長

【解析】根據(jù)平移的性質(zhì)，將電線中橫的和豎的線段分別進(jìn)行平移，便可直觀觀察到都是相等的，如圖5. 因此a、b、c三線長度相等. 故選D.

【評注】對實際問題，我們可以采用數(shù)學(xué)建模思想，將實際生活中的電線想象成一些平行的線段.那么，這個實際問題就變成了比較這三組線段的長度了.再聯(lián)系平移的有關(guān)性質(zhì)，就可以解決這個數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而達(dá)到解決這個實際問題的目的.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初級中學(xué)）