三角形里的用角策略

在三角形里求角度的問題，都離不開三角形內角和定理以及由這個定理推導出來的外角性質. 熟記定理并靈活使用才能順利解決所給的問題. 下面讓我們由課本例題與習題的鏈接分析來體會在三角形里的用角策略.

【例題展示】蘇科版數學教材七年級下冊（下文用課本指代）第29頁例2

如圖1，△ABC的角平分線BD，CE相交于點P，∠A=70°，求∠BPC的度數.

【例題精析】

課本例題的思路：

根據三角形的內角和等于180°推導，在△ABC中，先推導出∠ABC+∠ACB的度數，再利用角平分線，求出∠1+∠2的度數，在△PBC中，再利用三角形內角和定理，得出∠BPC的度數.

【其他方法】

在求出∠1+∠2的度數后，也就知道了∠3+∠4的度數，再借助外角性質——三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和，推導出∠BPC=∠PDC+∠4，∠PDC=∠A+∠3，最終得到∠BPC=∠3+∠4+∠A，也可算出∠BPC的度數.

本題的特點，就是三角形內角和的靈活運用，借助外角計算，思路比較簡捷，但觀察圖形需要具有一定的做題經驗，本章節也有習題與此題思路類似，如課本第40頁第9題，第42頁第20題.

由本題引發的深度思考：使用兩種不同的方法可以充分體現三角形內角和與外角性質的應用，并且還可發現三角形兩條內角平分線的夾角只與第三個角的大小有關，即∠BPC=90°+∠A.

【習題鏈接】課本第40頁第9題

如圖2，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，求∠BDC的度數.

【思路引導】

方法1：同29頁例2的課本解法，始終利用三角形內角和.

先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A =118°，

再求出∠3+∠4=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=63°，

最后求出∠BDC=180°-（∠3+∠4）=117°.

方法2：延長BD交AC于點E，如圖3，借助三角形的一個外角等于和它不相鄰的內角和，得∠BDC=∠DEC+∠2，∠DEC=∠A+∠1，

最終得到∠BDC =∠1+∠2+∠A，

也可算出∠BDC的度數.

（同理，延長CD交AB于點F，也可求解，在此不贅述）

課本第42頁第20題

（1） 如圖4①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，∠A=40°，求∠BOC的度數；

（2） 如圖4②，△A′B′C′的兩個外角∠C′B′D，∠B′C′E的平分線相交于點O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度數；

（3） 上面（1）、（2）兩題中的∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數量關系，若∠A=∠A′=n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的關系？這個結論你是怎樣得到的？

【思路引導】

（1） 同課本第29頁例2，可求∠BOC

=110°.

（2） 因為此問與外角相關，所以借助外角求出∠C′B′D=∠A′+∠A′C′B′，∠B′C′E=∠A′+∠A′B′C′，而∠A′+∠A′C′B′+∠A′B′C′=180°.

再根據角平分線，求出∠1+∠2=（∠C′B′D

+∠B′C′E）=（180°+∠A′）=90°+∠A′.

最后，利用三角形內角和，求出

∠B′O′C′=180°-（∠1+∠2）=90°-∠A′=70°.

另一種解法：如圖5，連接A′O′，

利用外角可求：

∠3=∠B′A′O′+∠B′O′A′，

∠4=∠C′A′O′+∠C′O′A′，

即∠3+∠4=∠B′A′C′+∠B′O′C′.

而∠3+∠4=∠1+∠2=180°-∠B′O′C′，

故180°-∠B′O′C′=∠B′A′C′+∠B′O′C′，

從而∠B′O′C′=90°-∠B′A′C′=70°.

（3） 由結果不難看出

∠BOC+∠B′O′C′=180°，

若∠A=∠A′=n°，可推出

∠BOC=90°+∠A=90°+n°，

∠B′O′C′=90°-∠A′=90°-n°，

故∠BOC+∠B′O′C′=180°，

與給定的n值的大小無關.

由此題引發的思考：此題旨在探究三角形兩條角平分線夾角的度數，經過推導計算發現夾角只與第三個角的度數相關. 題中先給出的是兩個內角的平分線，繼而擴展到兩個外角的平分線，事實上還可延伸到一個內角和一個外角的平分線. 解決此題需靈活使用三角形內角和與外角性質的知識，同時，記清基本結構圖，便于合理添加輔助線，快速抵達問題的心臟. 如圖6所示，外角的結構圖像一面三角旗，再看看圖7的燕尾形，在這里面存在∠BDC=∠BAC+∠B+∠C的結論，可參考圖中輔助線求證.

【例題延展】

課本第42頁20題的延伸：如圖8，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點O，∠A=40°，求∠BOC的度數.

思路引導：

因為∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，

∠ACD=∠A+∠ABC，∠2=∠1+∠BOC，

所以∠BOC=∠2-∠1=（∠ACD-∠ABC）=∠A.

【變式提升】

1. 如圖9，在△ABC中，∠A=96°，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2，依次類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于點A5，則∠A5的度數為（ ）.

A. 19.2° B. 8°C. 6°D. 3°

2. 如圖10，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC與∠ACB的平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的平分線交于點D2，依次類推，∠ABD4與∠ACD4的平分線交于點D5，則∠BD5C的度數是（ ）.

A. 56° B. 60°C. 68°D. 94°

參考答案：

1. D 2. A

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學）