數學研究性學習問題的范例性要素分析、選擇及設計

尹建勇

問題是數學研究性學習的核心，問題探究是數學研究性學習內容的主要呈現方式，數學知識應以各種有待探索研究的形式與學生頭腦中已有的經驗發生聯系和作用.創設好的問題情境，充分體現研究性學習的功能和價值，既是研究性學習有效進行的關鍵，也是研究性學習中教師主導作用發揮的本質要求.好問題就是研究性學習中的“范例”，它應當體現“范例教學”的主要原則，即：“三個性”——基本性、基礎性和范例性；“三個統一”——問題解決與系統性學習相統一、掌握知識與培養能力相統一、主體與客體相統一”；“四個階段”——“個”的階段、“類”的階段、規律和范疇階段、世界經驗和生活經驗階段.作為研究性學習中“范例”的問題可以從五個方面加以分析和選擇.

1.分析該問題的解決可使學生掌握、鞏固和應用哪些基本概念、基本原理和基本方法，形成什么樣的態度和技能.數學知識的基本性主要指探究對象結構的對稱性和規則性.這里特別把自主探究意識、人和人之間的合作和交流技能以及搜集、篩選和整合信息的能力放到比知識更優先的位置上予以關注，以數學問題為載體，追求培養“完整”的人的教育目標.

2.分析該問題對學生智力發展、科學方法論的掌握、態度價值觀形成的現實意義.問題情境應是學生熟悉的，或能夠清晰的理解的，學生應具有解決類似問題或相關問題的經驗，對問題涉及的思想方法有一定的了解，也就是說問題應置于學生“最近發展區”之中.以“低起點”保證不同層次的學生包括差生都能介入，以“寬入口”保證滿足認識風格各異的學生的探究期待.

3.分析該問題對學生未來生活的意義.一方面，選擇的問題在學生未來的學習和生活中必然會出現，是學生長大成人后必然要面對的，這樣的問題對學生是重要的，同時也是能引起學生興趣的.另一方面，探究性問題本身應具有可“拓展性”以適應學生的“發展性”

4.分析問題空間的結構，提供更多有針對性的指導.在解決問題時，學生必須把問題的構成成分（條件、目標、規則等其他有關情境）編碼成某種內部的心理表征，這種內部的表征就是其問題空間，它包括呈現給他的問題的起始狀態、要求達到的目標狀態、在解決過程中各種可能的中間狀態（想象的或經驗的）、可以使用的 算 子（操作），也包括與問題情境有關的“約束”，因此，問題空間是由學生對所要解決的有關問題的一切可能的認識狀態構成的.對問題空間的預設能使教師掌握解題要點、難點、層次、相互關系和教學的前提，弄清什么是組成整個問題空間的個別要素及這些個別要素之間的關系.

5.分析該問題有哪些特點、現象、狀況、嘗試、人物、事件和形式可以使處在該發展階段的學生發生興趣、接受問題以及了解和掌握它們.

二、數學研究性學習問題的設計

1.關口前移，上升一級.對于探究而言，初等數學與高等數學之間不存在明顯的界限，真正的數學研究與作為數學活動的問題探究之間也不存在明顯的區別.研究表明，人們并不是完全具備解決問題的必備知識才去嘗試解決問題的，而更喜歡直接投入到問題情境中，因此可從與當前知識聯系緊密，過渡自然的高一級教材中尋找“課題”.更現實的做法是在上新課之前，把本節課后符合條件的“習題”稍加改造作為研究性問題讓學生去探究，這樣學生在拓寬數學知識面的同時掌握了新知識，提高了探究能力.

2.恰當處理教科書中現有的問題.有以下兩種情況：①充分利用教科書中的問題教學內容.教科書中有許多習題和其他材料符合研究性問題的范例性要求，應深入挖掘、充分利用.②改編教科書中的習題.教科書中一些習題問題性不強，可以根據范例性要求進行改編：一是將封閉型的問題改為探究性的問題.可以改變設問方式、更換題設條件、互換條件結論、綜合類比拓展等；二是將教科書中已有的一些純理論性的習題改為富有時代氣息的實際應用題.簡單的辦法是：減少封閉性習題的限制條件，使其成為開放性問題，從而增強可探究性，限制少的問題讓人更可能用自己的方式來思考，而這方式決定于其興趣和發現.

3.生活是探究性問題永不枯竭的源泉.由于現實生活中一些問題信息的不完整性和正確答案個案的不確定性，才導致了數學研究性問題有它現實的教育教學價值.因此，關注現實世界中的問題，特別是學生身邊的可理解的實際問題，可使學生有一種親近感和探究的欲望.

4.激勵學生質疑提問.采用“大腦風暴”形式，讓學生向課本提問，改變概念和原理的假設和前提，大膽想象、合理拓展；向習題提問，改變前提和結論，轉換問題情境，使問題實際情境化.

5.從數學史和當代數學新成果中提出問題.數學史較真實的反映了人類數學知識的發生和發展過程，其間充滿著思考、探索、反駁、證實的建構過程.從數學發展的歷史長河中擷取的問題“浪花”，能真正體現數學探究真實而全面的價值訴求.當代數學新成果是在對傳統數學問題的反思、突破和重新探究的基礎上發展起來的，它的創新性思考為探究性問題的設計提供了十分有益的啟示.

研究性問題的評價與其他題型的評價結果有一定的相關性，研究性問題的大部分解題過程是一個個封閉性問題解題的“組塊”構成的，如果沒有這樣一個個“構件”很難建造成研究性問題的解題“大廈”，但同時也應認識到即便有了這樣一個個“構件”也不能保證一定能建成“大廈”.

研究性問題并不是教育教學的任一過程中都可以粘上去的萬能膠.對待具體的研究性問題，教者要從“范例性”角度加以篩選、分析.看一看是否與當前的數學教學密切相關；學生是否有能力對問題進行實效性的研究；課題是否能夠確實提高學生的能力，以及提高哪一方面的能力；問題在數學中的地位；數學之外這問題的作用，問題和教學者的關聯；哪些問題、什么時候引進更適宜.從“范例性”角度選擇適宜的研究性問題讓學生去研究無疑是十分重要的.