數學美的分類及其特征研究

李鳳芝

數學是數量關系與空間形式的科學，不但有智育的功能，也有其美育的功能.數學美深深地感染著人們的心靈，激起人們對她的欣賞.本文分析數學美的類型和主要特征.

一、簡潔美

愛因斯坦說過：“美，本質上終究是簡單性.”歐拉給出的公式：V-E+F=2，堪稱“簡單美”的典范.世間的多面體有多少？沒有人能說清楚.但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西.如：平面圖的點數V、邊數E、區域數F滿足V-E+F=2，這個公式成了近代數學兩個重要分支——拓撲學與圖論的基本公式.由這個公式可以得到許多深刻的結論，對拓撲學與圖論的發展起了很大的作用.在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多.

二、和諧美

數論大師賽爾伯格曾經說，他喜歡數學的一個動機是以下的公式：π4=1-13+15-…，這個公式實在美極了，奇數1、3、5、…這樣的組合可以給出π，對于一個數學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景.歐拉公式：eiπ=-1，曾獲得“最美的數學定理”稱號.歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序.與歐拉公式有關的棣美弗—歐拉公式是cosθ+isinθ=eiθ （1）.這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數——三角函數與指數函數緊密地結合起來了.對它們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆——確是“天作之合”.

三、奇異、突變美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯合邀請全世界的數學家們評選“近50年的最佳數學問題”，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數abbc，不合理地把b約去得到ac，結果卻是對的？經過一種簡單計算，可以找到四個分數：1664，2665，1995，4998.這個問題涉及“運算謬誤，結果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現一種奇異美嗎？人造衛星、行星、彗星等由于運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡，常數e由0.999變為1、變為0.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線.而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線.

四、對稱美

在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”.事實上，譯自希臘語的這個詞，原義是“在一些物品的布置時出現的般配與和諧”.畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形.圓是中心對稱圓形——圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形——任何一條直徑都是它的對稱軸.梯形的面積公式：S=（a+b）h2，等差數列的前n項和公式：Sn=（a1+an）n2，其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的，h與n是對稱的.

五、創新美

歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理5：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”和結論“三角形內角和等于二直角”，這些似乎是天經地義的絕對真理.但羅馬切夫斯基卻采用了不同于公理5的結論：“過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，“三角形內角和小于二直角”，從而創造了羅氏幾何.黎曼幾何學沒有平行線.這些與傳統觀念相違背的理論，并不是虛無縹緲的，當我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數學計算上的困難.每一個理論都在需要不斷創新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地.這種開闊了我們的視野、開闊了我們的心胸、給我們完全不同感受的難道不是切入肌膚的美嗎？如果我們再大膽設想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學呢？事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統一在曲面的內在幾何學中，還可以通過克萊因幾何學與變換群的觀點將三種幾何統一起來.在不斷創新的過程中，數學得到了發展.

六、統一美

數學的發展是逐步統一的過程.數的概念從自然數、分數、負數、無理數，擴大到復數，經歷了無數次坎坷，范圍不斷擴大了，在數學及其他學科的作用也不斷地增大.那么，人們自然想到能否再把復數的概念繼續推廣.統一的目的也正如希爾伯特所說的：“追求更有力的工具和更簡單的方法.”愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論.他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統一的藝術品.但他還是沒有完成統一的夢想.人類在不斷探尋著紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永遠的追求.

數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的.她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深邃的內涵和思想及其對人類思維的深刻影響.如果在學習過程中，我們能與數學家們一起探索、發現，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會不斷深入其中，欣賞和創造美.