淺析數形結合在高考中的應用

王博

【摘要】數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數的知識，解決幾何的問題.實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀.

【關鍵詞】數形結合；數學；函數；簡化；線性規劃

通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題，它包含以形助數和以數輔形兩個方面，利用它可以把復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長，是優化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數學方法.

在高中數學中數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、最值問題中，在求復數和三角函數解題中.運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優越.要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野.

1.解決集合問題

在集合運算中常常借助于數軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了.

2.解決函數問題

借助于圖像研究函數的性質是一種常用的方法.函數圖像的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法.

3.解決方程與不等式的問題

處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖像的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路.

例1 已知函數f（x）=x2+bx+c（x<0）

2（x≥0），且f（-4）=f（0），f（-2）=-2，則方程f（x）=x解的個數為 .

解 利用幾何圖形來解題.

-b2×1=-2，則b=4，4×1×c-424×1=-2，則c=2.

因此f（x）=x2+4x+2.

注意：這里y1=f（x），y2=x.因此，解的個數是3個.

4.解決三角函數問題

有關三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖像來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法.

例2 函數y=sin2x+5π6的圖像的一條對稱軸方程是（ ）.

A.x=-π2 B.x=-π4 C.x=π3 D.x=5π4

解析 對函數y=Asin（ωx+φ）的圖像作深入的觀察，可知，若直線x=a通過這一曲線的一個最高點或最低點，則它必為曲線的一條對稱軸.因此，解這個問題可以分別將x=-π2，-π4，π3，5π4代入函數的解析式，易得x=π3時，y=-1.故選C.

注意 要善于觀察圖形，發現基本性質.如本題若不能很好地掌握函數y=Asin（ωx+φ）的圖像性質，而機械地畫出函數y=sin2x+5π6的圖像及其對稱軸，雖然也可以做對，卻浪費了寶貴的時間.

5.解決線性規劃問題

線性規劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題.從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用.

例3 （ 2006年湖南）已知x≥1，

x-y+1≤0，

2x-y-2≤0，則x2+y2的最小值是.

解 在坐標系中畫出可行域，如圖所示，其中A（1，2），B（3，4）.將目標函數x2+y2看成可行域中的點P（x，y）到原點O的距離x2+y2的平方.則當點P與A重合時，x2+y2的最小值是5.

6.解決數列問題

數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數.用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖像進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決.

7.解決解析幾何問題

解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中.

例4 已知直線y=k（x+2）和雙曲線x2-4y2=4只有一個公共點，則k的不同取值有（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

解析 如圖，y=k（x+2）的圖像是過定點（-2，0）的直線系，雙曲線的漸近線方程為y=±12x.故過點（-2，0）且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值.此外，過點（-2，0）且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值.故正確答案為D.

8.解決立體幾何問題

立體幾何中用坐標的方法將幾何中的點、線、面的性質及其相互關系進行研究，可將抽象的幾何問題轉化純粹的代數運算.

數形結合是培養和發展學生的空間觀念和數感，進行形象思維與抽象思維的交叉運用，使多種思維互相促進、和諧發展的主要形式；數形結合教學又有助于培養學生靈活運用知識的能力.