分式函數值域解法探析

湯啟明

函數既是中學數學各骨干知識的交匯點，是數學思想、數學方法應用的載體，是初等數學與高等數學的銜接點，還是中學數學聯系實際的切入點，因此函數便理所當然地成為了歷年高考的重點與熱點，考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、反函數以及函數圖像.而對函數值域的考查或是單題形式出現，但更多的是以解題的一個環節形式出現，其中求分式函數的值域更是學生失分較大知識點之一.為此，如何提高學生求分式函數值域的能力，是函數教學和復習中較為重要的一環，值得探討.

類型一 y=cx+dax+b（a≠0）型

例1 求函數y=2-3x2x-1的值域.

解法一 常數分離法.將y=cx+dax+b轉化為y=k1+k2ax+b（k1，k2為常數），則y≠k1.

解 ∵ y=2-3x2x-1=-32+12（2x-1），

∴ 函數y=2-3x2x-1的值域為y|y≠-32.

解法二 反函數法.利用函數和它的反函數的定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域.

解 反解y=2-3x2x-1得x=2+y2y+3，

∴2y+3≠0.

∴函數y=2-3x2x-1的值域為y|y≠-32.

類型二 y=csinx+dasinx+b（a≠0）型

分析 這是一道含三角函數的一次分式函數題，由于含三角函數，不易直接解出x，但其有一個特點：只出現一種三角函數名，可以考慮借助三角函數值域解題.即：將y=csinx+dasinx+b反解得sinx=f（y），而-1≤sinx≤1，即-1≤f（y）≤1，解之即可.

例2 求函數y=sinx+22-sinx的值域.

解 由y=sinx+22-sinx得sinx=2y-2y+1.

∵ -1≤sinx≤1，

∴ -1≤2y-2y+1≤1，解之得13≤y≤3.

∴ 函數y=sinx+22-sinx的值域為y13≤y≤3.

類型三 y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b （a≠0）型

分析 這道題不僅含有三角函數，且三角函數不同，例2解法行不通，但反解之后會出現正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法.即：去分母以后，利用疊加公式和sinx≤1解題.

例3 求函數y=3sinx+32cosx+10的值域.

解 ∵ 2cosx+10≠0，∴ 3sinx-2ycosx=10y+3.

∴ 9+4y2sin（x-φ）=10y+3，其中tanφ=2y3.

由sin（x-φ）=10y+39+4y2和sin（x-φ）≤1，

得10y+39+4y2≤1，

∴ （10y+3）2≤9+4y2，整理得8y2+5y≤0.

∴ -58≤y≤0， 即原函數的值域為-58，0.

類型四 y=dx2+ex+fax2+bx+c （a，d不同時為0），x∈R型

分析 去分母后，可將方程看作是含參數y的二次方程f（x）=0.由于函數的定義域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0（f（y）≥0），解該不等式便可求出原函數的值域.即：用判別式法.先去分母，得到含參數y的二次方程f（x）=0，根據判別式Δ≥0（Δ=f（y）），即可求出值域.

例4 求函數y=3xx2+4的值域.

解 由y=3xx2+4得yx2-3x+4y=0.

當y=0時，x=0，當y≠0時，由Δ≥0得-34≤y≤34.

∵ 函數定義域為R，

∴ 函數y=3xx2+4的值域為-34，34.

說明 判別式法求二次函數的值域只適用于在整個定義域內，但不能用其在指定的區間上求二次函數的值域，否則就會放大值域.

類型五 y=dx2+ex+fax+b（a，d不同時為0），指定的區間上求值域型

例5 求y=16x2-21x+55-4xx<54的值域.

分析 因為x<54，所以若用判別式法，可能會放大其值域，可以考慮使用均值定理解題.

解 ∵ x<54，∴ 5-4x>0，15-4x>0.

∴ y=16x2-21x+55-4x=（1-4x）+15-4x=（5-4x）+15-4x-4≥2（5-4x）15-4x-4=-2.

∴ 原函數的值域為-2，+∞.

總結 不管是求一次分式函數，還是求二次分式函數的值域，都必須注意自變量的取值范圍.雖然我們提倡通解通法的培養，但一定要看到只有對同一類題才可以用通解通法.若失去同一類前提，只強調通解通法，便是空中樓閣.故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果.