函數y=lg f（x）值域問題探究

瞿詩兵

函數y=lgf（x）值域問題歷來是高中生最不容易理解，也是老師最不好教的問題.這類問題學生易受思維定式的影響，誤認為只要真數f（x）>0就能保證函數值域為R，其實不然，需要真數f（x）能取遍一切正實數，才能保證函數值域為R.而這一點，正是學生最不容易理解的地方.因此需另辟蹊徑，尋找新的思維方法來幫助學生理解.

我們知道，y=lgf（x），f（x）=x， 當x>0 時，y=lgf（x）值域為R， 那么：（1）f（x）=x2+4x+5，（2） f（x）=x2+4x+4， （3）f（x）=x2+4x+3 時，函數y=lgf（x）值域是否仍為R 呢？

很多學生認為 f（x）=x2+4x+5=（x+2）2+1>0，易得出y=lg（x2+4x+5）的值域為R.相反，y=lg（x2+4x+4）的值域為R，卻認為f（x）=（x+2）2 ≥0真數無意義， 得出不能求其值域的錯誤結論 .導致學生錯誤的原因是什么呢？是因為學生對 “x>0 時，y=lgx的值域為R”的實際意義理解不清.其實這里“x>0” 指 x 能夠取遍一切正實數.這句話學生是不好理解的，他們會在心里盤問，既然x 能取遍一切正實數， 為什么書上又說 “x>0時，y=lgx的值域為R”，因此我們應該從學生角度出發來考慮問題，要用學生能夠聽得懂的語言和方法來進行教學.為此，可考慮作函數 f（x）=x 的圖像幫助學生理解y=lgf（x）的值域問題.

作函數 f（x）=x 的圖像如圖.從圖上看x∈R，相應f（x）∈R ，其圖上有 x>0，f（x）>0 的部分，即可敘述成x 能取遍一切正實數，才能保證y=lgf（x）的值域為R.另外，從圖上看之所以f（x）=x 能取遍一切正實數是因為其圖像與 x 軸相交，且在 x 軸上方是無限延伸的.

由此，我們得到求函數 y=lgf（x）值域為R的結論：

當函數 f（x） 的圖像與 x 軸相交且在 x 軸上方是無限延伸時，y=lgf（x）的值域為R.

利用這個結論，問題（2），（3）便迎刃而解了，其值域為R.問題 （1）值域為[0，+∞）.

我們利用這個結論探究下面的問題.

例 已知函數y=lg（ax2+bx+c）的值域為R ，求 a，b，c 滿足的條件.

解 （1）當a≠0時，作函數 f（x）=ax2+bx+c 的圖像（如圖），要使y=lg（ax2+bx+c）的值域為R ，需函數 f（x）=ax2+bx+c 的圖像與 x軸相交且在x軸上方是無限延伸的，則a>0且b2-4ac≥0.

（2） 當a=0 時，作函數f（x）=bx+c的圖像，要使y=lg（bx+c）的值域為R， 需函數f（x）=bx+c的圖像與 x 軸相交且在x 軸上方是無限延伸的，則b≠0.

練習：1.已知函數y=lg（x2-2ax+3）的值域為R，求a的取值范圍.

2.已知函數y=lg（x+ax-1）的值域為R（a>0），求a的取值范圍.

若把條件a>0改為a∈R，則a的取值范圍又如何呢？

答案 1.a≥3或a ≤ -3.

2.00，x>0時，tmin=2a-1，當2a-1≤0，00，x1x2=a<0，∴x>0時，存在t（x）=0，且函數t在x>0時單調遞增，其圖像與x軸相交且是無限延伸的，∴y∈R.綜上，a≤14.

其實，在我們平常的教學中有很多類似的學生不好懂的問題，我們可以想點子去教學生.如講函數概念時，可以告訴學生函數是一種對應關系，“對應關系”一般可用“函數”兩字替代，一般表格和圖像具備兩個量對應關系，所以它們一般是函數；講“充分條件”和“必要條件”時，可以告訴學生：從推證關系看，箭頭前的部分是“充分條件”，箭頭后的部分是“必要條件”等.只要我們在平常教學中鉆研學生，從學生角度出發思考問題，然后用學生能夠理解的語言和方法去教學，那么學生會學得更好和更有興趣.