用數學規劃方法解決變壓器鐵心截面設計問題

鄧昌瑞

【摘要】針對電力變壓器鐵心柱截面設計所涉及的截面的級數、各級的寬度和厚度的確定等問題，可以用數學規劃的方法制定其優化方案，并在此基礎上能對線圈內筒直徑和鐵心柱外接圓直徑的公差帶以及增加油道優化設計給出合理的方案.

【關鍵詞】數學規劃；優化模型；填充率；公差帶；有效面積

一、問題的提出

電力變壓器心式鐵心柱截面通常由許多同種寬度的硅鋼片疊起來、呈上下左右軸對稱的多級階梯形結構.硅鋼片的寬度一般取為5的倍數（單位：毫米）.在鐵心柱和線圈之間要加入一定的撐條來起到固定的作用，所以一般要求第一級的厚度最小為26毫米，硅鋼片的寬度最小為20毫米.

鐵心柱有效截面的面積，等于多級鐵心柱的幾何截面積（不包括油道）乘以疊片系數.而疊片系數通常與硅鋼片厚度、表面的絕緣漆膜厚度、硅鋼片的平整度以及壓緊程度有關.設計時希望有效截面盡量大，既節省材料又減少能量損耗.顯然鐵心柱的級數愈多，其截面愈接近于圓形，在一定的直徑下鐵心柱有效截面也愈大.但這樣制造業工藝復雜，一般鐵心柱的級數可參照表1選取.

表1 鐵心柱直徑與級數關系

問題1：當鐵心柱外接圓直徑為650毫米時，如何確定鐵心柱截面的級數、各級寬度和厚度，才能使鐵心柱的有效截面積最大？

問題2：實際生產中線圈的內筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，而留有一定的間隙以便于安裝和維修，設計的兩個直徑的取值范圍稱為各自的公差帶.因此可以在設計鐵心截面時稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的截面形狀.請結合鐵心柱截面的設計而設計出二者的公差帶.

問題3：為了改善鐵心內部的散熱，鐵心柱直徑為380毫米以上時須設置冷卻油道，具體油道數可按表2選取.油道的位置應使其分割的相鄰兩部分鐵心柱截面積近似相等.分別針對問題1和問題2的情況，增加油道要求再給出設計，并指出油道的位置.

表2 鐵心柱直徑與油道個數的關系

二、問題假設與符號說明

1.問題的假設

（1）疊片系數為一常數；（2）鐵心柱各級硅鋼片均與外接圓相切；（3）鐵心柱截面形狀的好壞由截面積與外接圓面積的比值即填充率確定；（4）硅鋼片之間是絕對密合.

2.符號說明

r：外接圓的半徑（mm）； li：第i級硅鋼片的寬度（mm）；hi：第i級硅鋼片的厚度（i=1，2，…，n）；Hi：第1級厚度的一半到第i級厚度之和；S：最大有效截面積（mm2）；Si：第1級以上油道間硅鋼片的截面積（mm2）；λ：碟片系數； e：鐵心柱外接圓的填充率；φ：線圈內徑與鐵心柱外接圓原始間隙；ω：含油道各截面積比值相差范圍；ES：線圈的內筒直徑的上偏差； EI：線圈的內筒直徑的下偏差；es：鐵心柱外接圓直徑的上偏差； si：鐵心柱外接圓直徑的下偏差.

三、問題的分析

1.問題1的分析

在問題1中，設計鐵心有效截面面積最大是設計的關鍵.在鐵心柱截面級數的選擇（附表1）當中可知直徑為650毫米時屬于12～14級，此時可分別求出當級數為12、13、14時的鐵心柱截面面積的最大值，再通過比較得出最大值，同時確定鐵心柱截面的級數.最后利用Lingo數學軟件可解得各級的寬度和厚度.

2.問題2的分析

要使鐵心柱具有更好的截面形狀，即使鐵心柱截面積與其外接圓面積的比值（填充率）越大.以外接圓直徑為650 mm為標準，逐步增加鐵心柱外接圓直徑，計算出相應的填充率，進而得到填充率大于規定標準的取值范圍，即為鐵心柱外接圓的公差帶.

3.問題3的分析

在解決問題1的基礎上，增加四個油道，同樣以最大有效面積為目標函數，設油道分別位于第i級與j級之間和第p級和q級之間，則j級以上到第p級和q級以上到第n級的厚度分別加六毫米，并加入油道相鄰之間的截面面積大約相等為約束條件，從而建立數學規劃模型，對油道位置的確定以及對各級寬度和厚度的求解.

四、問題的求解

1.求最大有效截面積的優化模型

（1）目標函數的建立

根據問題1的分析可知：將鐵心柱有效截面達到最大作為目標函數.鐵心柱截面面積等于各級鐵心柱面積（各級的厚度乘以寬度）之和，由于心式鐵心柱截面采用多級階梯形重迭設計，記第i級厚度為hi，寬度為li（i=1，2，…），于是有n級鐵心柱最大有效截面積（見式1）.

maxS=λh12l1+2∑ni=2hili.（1）

（2）約束條件的建立

由問題1的分析可知： 第一級厚度的一半到第i級厚度之和Hi，有 Hi=h1/2+∑ij=2hj.

由幾何知識可知：第一級厚度的一半到第i級厚度之和的平方加上第i級寬度li一半的平方和等于外接圓半徑的平方（勾股定理），即有（見式2）：

H2i+li22=r2.（2）

同時，由題意可知第i級的寬度一定會大于第i+1級的寬度，即：li>li+1.

硅鋼片的寬度一般取為5的倍數（單位：毫米）.因為在多級階梯形和線圈之間需要加入一定的撐條來起到固定的作用，所以一般要求第一級的厚度最小為26毫米，硅鋼片的寬度最小為20毫米，所以存在：li=5ki，h1≥26，ln≥20.

由此可得到鐵心柱有效截面積最大的優化模型（見式3）.

V：maxS=λh12l1+2∑ni=2hili

s.t.Hi=h12+∑i2hi，H2i+li22=r2，

li=5ki，h1≥26，ln≥20，ki∈N+， （i=1，2，…，n）. （3）

將r=325 mm代入上式，運用Lingo11.0數學軟件編程可求得當n取各級的橫截面積及各級厚度和寬度，并由此可得到當鐵心柱截面級數為14級時有效截面積最大S=320753.1λ.

根據電力變壓器鐵心柱設計疊片系數相關信息有（見表3）：

表3 疊片系數與有效截面積對應關系

從而得到優化后的鐵心柱的截面設計結果.

2.公差帶的設計問題

實際生產中線圈的內筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，而留有一定的間隙以便于安裝和維修，設計的兩個直徑的取值范圍稱為各自的公差帶.因此可以在設計鐵心截面時稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的截面形狀.

要求增加截面的大小，使鐵心柱有更好的截面形狀，將截面形狀的好壞用鐵心柱對外接圓的填充率（截面積與外接圓面積的比值）來表示，填充率越大，鐵心柱截面更趨近于圓.當外接圓直徑增加時，外接圓面積增大，鐵心截面積也隨著增加.根據問題1的分析，可求出外接圓直徑增加到某值時最大截面積.模型如下：

算出前面式中r增加時對應的S，求出填充率e=Sπr2隨r的變化情況.

以r=650 mm時，級數為14級的截面的填充率為標準：e1=S650πr2=0.96657656078212，得到當e>e1時，外接圓直徑可增加的范圍，可解得外接圓直徑r以0.2增加時e的變化情況.解得當r增加到第16個點后，e值小于e1.由此得到鐵心柱外接圓可增加直徑為：0.32 mm.以650 mm為基準尺寸，得到鐵心柱外接圓的偏差范圍為：es=0.32，ei=0.

為了便于安裝和維護，線圈內筒和鐵心柱為間隙配合，記生產設計最小間隙為φ，則線圈內筒偏差為： ES=φ+0.32，EI=φ.

3.油道位置的選定問題

針對問題1中外接圓直徑為650毫米時油道的位置進行計算，由表2可知應設計6 mm的油道2個，因為截面在圓內上下、左右對稱，故油道也是上下對稱的（上下各兩個）.要使油道相鄰兩部分鐵心柱的截面積盡量相等，并使其有效截面積最大.在問題1的基礎上，以最大有效截面積為目標函數，增加油道.

設油道位于第i級與第j級和第p級與q級之間（i+1=j≤n）， 則第一級厚度的一半到第m級厚度之和Hi（見式4）.

Hm=h12+∑m1hm 2≤m≤i，

h12+∑m1hm+6 j≤m

h12+∑m1hm+12 q≤m≤n.（m=1，2，…，n）（4）

第一級中心水平線到第一油道的截面積有：S1=h12l1+∑i2hili；第一油道到第二油道之間的截面積有：S2=∑pjhplp；第二油道以上截面積有：S3=∑nqhnln.

令S1，S2，S3存在關系：1-2S1S2≤ω，1-2S1S3≤ω（ω為面積比值相差范圍）.2S1S2比值越大，油道相鄰兩部分鐵心柱截面積越趨近于相等，即ω越小.以ω取值為約束條件，鐵心柱有效截面積最大為目標函數建立優化模型（見式5）.

V：maxS=λh12l1+2∑nm=2hmlm

s.t.H2m+lm22=r2，1-2S1S2≤ω，

1-2S1S3≤ω，

lm=5km，h1≥26，ln≥20，km∈N+.（m=1，2，…，n）（5）

先令ω取較小的一個數，算出油道位于各級之間鐵心柱截面積S的最大值，將它們進行比較，最大之時即為油道的設計位置.逐漸增加ω的取值重復上面的步驟.找出ω盡量小，S盡量大的一個值作為鐵心及油道的設計方案.

當ω分別等于0.05和0.1時，可以確定當ω=0.1時，可得到半圓中第2油道位置位于第2，3級之間和第5，6級之間時，為截面的最佳設計，此時其油道間截面積分別為270243.8與270439.7，油道間截面積分別為270435.4與282580.6.并可以計算出各級的寬度和厚度，可以知道各級中最大幾何截面積為S=306543.5 mm2.油道之間的截面積分別為（mm2）： 62496.91， 58221.24， 58504.31.

五、模型的評價

本文對電力變壓器鐵心柱截面積優化設計給出的算法達到了對其優化的目的，在直徑一定時，相對原來級數我們所確定的級數大大節省了能源，也將大大提高生產效率，從而減少成本.

【參考文獻】

[1] 張瑋，李心宏，劉立巖.變壓器鐵芯柱截面優化模型與設計[J].中國科技信息，2011（10）.

[2] 王曉.一種新的求解非線性規劃的濾子信賴域方法[A].中國運籌學會第十屆學術交流會論文集[C].2010.