羅素數學哲學“映射”概念分析綱要

施經

【摘要】羅素在一系列數學哲學論著中，特別是他的《數學哲學導論》中，通過論述映射問題，試圖解決傳統數學中存在著的在處理數和數序時“無限”和“有限”的矛盾.本文分析羅素解決這一問題的方式及在哲學上這種解決方式可能帶來的影響.

【關鍵詞】映射；數學；羅素

對羅素的關注，在我國是比較早的.但在某種程度上筆者認為，這種關注在我國學界正在走著一種退步的路.相較于早期最先引進羅素的數理邏輯演講，現在的研究者，越來越關注的是羅素作為一名社會活動家，作為一名和平主義者的較為新鮮活潑的一面.哪怕是專業的哲學研究者，也越來越多將羅素簡單視為一名暢銷書作者和一個哲學史的過渡性人物.僅僅滿足于此，我們就能夠想見國內學界對羅素的研究是多么蒼白和貧陋.國外對羅素的研究，同樣是不能夠令人充分滿意的.但從事數學哲學研究的專業人員，無疑充分認識到了羅素及其著作的重要性.這里囿于篇幅和主題，就不涉及國外的研究情況.我在此主要評判的是國內的哲學及哲學史和思想史研究者，他們忘記了，羅素首先是作為一名數學家、邏輯學家而成就自己的學術和聲名的.并且基于這種確信，我認為，羅素的分析工具是科學主義的.

映射概念（姑且相信這樣的說法是正確的），并非羅素提出的.相反的，這是源于數學上長久以來就有的一個地圖問題.大家知道，我們在繪畫地圖的時候必須使用比例尺相應地放大或者縮小地圖，以使一定較小容量的紙張能夠容納繪畫對象縮放后表征的內容.任何人，在現實實踐中，都不會去描繪一幅和實物一一對應，完全一般大小的地圖.這樣的地圖，圖中之物的每一天都和現實對象的每一天對應相等，自然是最為理想最為精確的地圖，可是一般而言就失去了自己的實用價值了.

但是縮小的地圖中似乎存在著一個悖論.因為地圖要繪畫出來（如果它是準確的地圖），它就必須和實物存在一一對應的關系.這種關系，是基于一種比例收縮或擴大的結果，這就是映射.所以我們完全可以說，地圖是實物的映射產物.換句話說，地圖如果是完全映射的話，實物的每一個點都能在地圖上找到對應的點.那么，實物中存在的無數點，就映射于地圖的無限點之中.所以地圖中的點和實物的點是一樣多的.可是，地圖畢竟是無限縮小或擴大了的實物，明顯的二者間的面積差距，很難說服人們相信二者的點是相等同的.這就是地圖悖論.也是映射問題很難解釋清楚的.

羅素相信這個問題的非凡意義.他的分析方式是，我們不能由于這種悖論而回到傳統黑格爾哲學對無限和有限的混亂分析之中.黑格爾面對這樣的問題，他會怎么說呢？須知，黑格爾是一向輕視數學的，他無疑會將其作為數學自身混亂的依據，作為無限和有限相互辯證轉換的依據，但這只是掩蓋了問題，并無助于我們問題的分析和解決.

羅素認為，這問題暗示著我們此前在分析中的一個問題，就是說，我們盲目的將無限和有限的適用公式或命題一致化.就是說，我們一直錯誤地認為，適用于我們有限經驗的公式等等分析原理和工具，勢必同樣適用于無限的事物和問題.而這一前提假設則是錯誤的.

羅素的可貴之處，毋寧說，就是這種堅持到底的分析主義作風.羅素指出，映射所以可能，不是因為點或面積的總數在發生映射之后沒有發生變化，而是由于這種變化并不會影響其他的某種尚未揭示出來的實質之物.映射發生了，從原來的A，變成僅僅局限于紙上一隅的B.可是，我們依然知道這是原物的對應之物，而不會認為這是同原物毫無關系的它物.原物和地圖對照物，二者并非在同一坐標上的同一類（如果這里可以使用“類”的話）物.我們假設原物的外形輪廓的走向和圈圍二層的圖形能夠用一個函數F表示.這個函數無疑是極為復雜的，但是我們現在并不涉及這個函數涉及的元以及其他的復雜的內部結構問題.我們相信，這個函數存在著一個可以觀察的變元或者變量a.最初已經說過，A與B并不是在一個坐標系中的兩個函數，所以它們的變化并不是因為簡單的位移造成的，即便是位移，對它們形狀的對應關系也不造成破壞，所以這個位移是可以忽略不計的.那么，發生變化的就是a.由于a過渡為a′，或者說，a被一個函數f定義，這個f相應的值成為新的函數F的相應確值.這樣就發生了地圖大小的變化，所以這個大小的調整可以是隨意的.那么這里涉及無限和有限的關系嗎？很難說，因為我們不知道發問者關注的這個關系是哪里的關系.可是我們現在至少已經確知，這里發生的變化僅僅是變量a的變化.如果由a的每一個取值組成一個序列C，那么，這個序列可能是無限的.而經過F取值的a′組成的序列，也可以是無限的.所以某種程度而言，這里并不涉及嚴格的無限、有限的詰問辯難.

那么，羅素的這一解決，或者更正確地說，數學家的這一解決方式，在這么小的一個方面，能夠給予我們怎樣的啟示呢？我以為，最簡單地說，就是祛除一切的神秘和偏見.老實說，沒有堅實的科學主義基礎，一門學科就會成為神秘主義的巢穴.沉溺于神秘主義的詞匯，不僅僅是滿足于拖沓和不實際有效地解決問題，更是對自己精神和道德的敗壞.

【參考文獻】

[1]Bertrand Russell.Introduction to Mathematical Philosophy， DOVER PUBLICATIONS， INC.， New York， 1919.

[2]Bertrand Russell.A History of Western Philosophy， SIMON AND SCHUSTER， NEW YORK， 1945.