伴隨矩陣的秩

王春鴿

【摘要】本文研究了矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關系，得出結論并給出應用.

【關鍵詞】矩陣；伴隨矩陣；秩

在線性代數中，為討論逆矩陣及其求法，引進了伴隨矩陣的概念.本文對n階矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關系進行了研究，得出了問題的結論，并利用結論使一些伴隨矩陣的秩的計算變得相對簡單.

1.伴隨矩陣

設A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann，|A|的各個元素的代數余子式Aij所構成的矩陣A*=A11A12…A1n

A21A22…A2n

…………

An1An2…Ann 稱為矩陣A的伴隨矩陣.

2.矩陣的秩

定義1 在m×n矩陣A中，任意取k行k列（1≤k≤m，1≤k≤n），位于這些行列交叉處的k2個元素，不改變它們在A中的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式.

定義2 設A為m×n矩陣，如果存在A的r階子式不為零，而任何r+1階子式（如果存在的話）皆為零，則稱數r為矩陣A的秩，記為r（A）并規定，零矩陣的秩為零.

3.伴隨矩陣的秩的結論

設A為n階矩陣，則有r（A*）=n，r（A）=n

1，r（A）=n-1

0，r（A）

證明 （1）若r（A）=n，則矩陣A可逆，

|A|≠0，|A-1|≠0.

r（A-1）=r（A）=n.

又 ∵A*=|A|A-1，

∴r（A*）=n.

（2）若r（A）=n-1，則A中有n-1階非零子式，

A*中有非零元素，

r（A*）≥1，

又∵AA*=|A|E，r（A）=n-1，

∴|A|=0，AA*=0，r（A）+r（A*）≤n，r（A*）≤1.

∴r（A*）=1

（3）若r（A）=n-1，則A中所有n-1階子式均為零，

則A*=0，

r（A）=0.

例1 設A=123

045

006，求r（A*）.

解 A=123

045

006，

|A|=24≠0，

r（A）=3，

r（A*）=3.

例2 設A=1234

2468

0123

0001，求r（A*）.

解 顯然矩陣的第一行與第二行成比例，

|A|=0，r（A）<4，

A中有3階子式248

013

001=2≠0，

r（A）=4-1=3，

r（A*）=1.

例3 設A=1234

2468

36912

0123，求r（A*）.

解 顯然矩陣的第一行、第二行、第三行成比例，

r（A）<2，

r（A*）=0.

【參考文獻】

[1]吳贛昌.線性代數.北京：中國人民大學出版社.2011.