高考數列解題策略研究

辜琛坤

【摘要】數列是高中數學的重要內容之一，是銜接初等數學與高等數學的橋梁，在高考中的地位舉足輕重，新課標高考把數列作為核心內容來加以考查且考查試題不斷創新.所以，了解高考中數列問題的命題規律，掌握高考中關于數列問題的熱點題型的解法，針對性地開展數列知識的復習和訓練，對于在高考中取得理想的成績具有十分重要的意義.

【關鍵詞】考試說明；基本題型；拓展綜合

考試說明：重視基本方法和基本技能考查，熟練掌握等差、等比數列的通項公式、求和公式及其應用，掌握常見求通項、數列求和的技巧，重視數列與其他知識的交匯考查，突出對數學方法和數學能力的考查.

基本題型：

一、等差、等比數列基本運算

等差、等比數列是一個重要的數列類型，高考命題主要考查等差、等比數列的概念、基本量的運算及由概念推導出的一些重要性質，靈活運用這些性質解題，可達到避繁就簡的目的.解決等差、等比數列的問題時，通常考慮兩類方法：①基本量法，即運用條件轉化成關于a1和d的方程（組）；②巧妙運用等差、等比數列的性質.

例1 （2013年高考四川卷（文））在等比數列{an}中，a2-a1=2，且2a2為3a1和a3的等差中項，求數列{an}的首項、公比及前n項和.

解 設{an}的公比為q.由已知可得

a1q-a1=2，4a1q=3a1+a1q2，

所以a1（q-1）=2，q2-4q+3=0，解得 q=3或q=1.

由于a1（q-1）=2，因此q=1不合題意，應舍去.

故公比q=3，首項a1=1.所以，數列的前n項和Sn=3n-12.

訓練1 （2013年高考新課標1（理））設等差數列{an}的前n項和為Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m= （ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

答案 C

訓練2 （2013年高考江西（理））等比數列x，3x+3，6x+6，…的第四項等于（ ）.

A.-24B.0C.12D.24

答案 A

點評 這幾道題的解法直接利用了等差、等比的定義、通項或者求和公式即可完成解答，體現雙基考查.

例2 （2013年普通高等學校招生統一考試山東數學（理））設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1.

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）設數列{bn}前n項和為Tn，且Tn+an+12n=λ（λ為常數）.令cn=b2n（n∈N*）.求數列{cn}的前n項和Rn.

解 （Ⅰ）設等差數列{an}的首項為a1，公差為d.

由S4=4S2，a2n=2an+1得

4a1+6d=8a1+4d，

a1+（2n-1）=2a1+2（n-1）d+1，

解得a1=1，d=2.

因此an=2n-1（n∈N*）.

（Ⅱ）由題意知：Tn=λ-n2n-1.

所以n≥2時，bn=Tn-Tn-1=-n2n-1+n-12n-2.

故cn=b2n=2n-222n-1=（n-1）14n-1，（n∈N*）.

所以Rn=0×140+1×141+2×142+3×143+…+（n-1）×14n-1，

則14Rn=0×141+1×142+2×143+…+（n-2）×14n-1+（n-1）×14n，

兩式相減得34Rn=141+142+143+…+14n-1-（n-1）×14n=14-14n1-14-（n-1）14n，

整理得Rn=194-3n+14n-1.

所以數列{cn}的前n項和Rn=194-3n+14n-1.

點評 此題主要考查等差求和公式和利用方程組解基本量，隨后考查重要求和方法——錯位相減法.

訓練3 （2013年高考大綱卷（文））等差數列{an}中，a7=4，a19=2a9.

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設bn=1nan，求數列{bn}的前n項和Sn.

答案 {an}的通項公式為an=n+12，Sn=21-22+22-23+…+2n-2n+1=2nn+1.

訓練4 （2013年高考湖南（文））設Sn為數列{an}的前n項和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*.

（Ⅰ）求a1，a2，并求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）求數列{nan}的前n項和.

答案 （Ⅰ）{an}是首項為a1=1，公比為q=2的等比數列，an=2n-1，n∈N*.

（Ⅱ）Tn=（n-1）·2n+1，n∈N*.

訓練5 （2013年普通高等學校招生全國統一招生考試江蘇卷）設數列{an}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，（-1）k-1k，…，（-1）k-1kk個，即當（k-1）k2

（1）求集合P11中元素的個數；（2）求集合P2000中元素的個數.

本題主要考查集合、數列的概念與運算、計數原理等基礎知識，考查探究能力及運用數學歸納法分析解決問題的能力及推理論證能力.

答案 （1）集合P11中元素的個數為5 .（2）集合P2000中元素的個數為312+47=1008.

數列部分的考查形式在高考中有多種，選擇題、填空題以及答題都可能會涉及，在各省市對數列的考查難易程度也是相差較大，許多省市更是放在前三道大題，所以建議復習數列部分時首先重視等差、等比數列基礎題型和常見的求和、求通項方法，在這些基礎熟練之后，對基礎較好的考生再對數列的綜合應用加以研究.