由“數”化“形” 在解題中的應用

包文光

一、構造法

一個問題S如果在題目給定的系統里不易求解，倘若能找到一種對應關系f，把它轉化為另一個系統中的相應問題S′，借助于對應關系f或新的數學模型S′的性質，獲得原來問題的解答.構造模型是一種創造性思維，但離不開對題目結構特點的認識.

1.求代數式的值

例1 tan15°+cot15°的值是（ ）.

A.2 B.2+3 C.4 D.433

圖 1分析 tan15°=a>0，則cot15°=1a.問題即求a+1a的值.構造等腰三角形ABC，D是BC的中點，∠BAC=30°.如圖1.

解 設BD=DC=a，AD=1，則由三角形面積等效得：12·2a·1=12·a2+1·a2+1·sin30°，得：12（a2+1）=2aa2+1a=a+1a=4.

所以tan15°+cot15°=4.選C.

簡評 本題通過構造等腰三角形，將所求問題轉化為三角形面積的簡單計算，省去了繁雜的三角變換，大大簡化解題過程.實現了“數”與“形”的完美結合.

2.求最值（取值范圍）

例2 如果方程x2-4|x|+6=a有兩個不同實數根，求a的取值范圍.

圖 2分析 原方程可化為（|x|-2）2=a-2，作y=（|x|-2）2與y=a-2的圖像，如圖2，由圖知a-2=0或a-2>4，即a=2或a>6時方程有兩個不等實數根.

簡評 本題通過恒等變形，構造兩個不同函數，將所求問題轉化為函數圖像模型中兩個函數圖像的交點問題，使問題直觀簡潔化.

3.證明（解）不等式

例3 設函數f（x）=2|x+1|-|x-1|，求使f（x）≥22的x的取值范圍.

圖 3分析 由于y=2x是增函數，f（x）≥22等價于|x+1|-|x-1|≥32，我們構建一條數軸，如圖3.不等式所賦予的幾何意義是數軸上的一點x到x=-1的距離與到x=1的距離大于等于32.

解 由圖易知：|x+1|-|x-1|=32的點為x=34，所以|x+1|-|x-1|≥32的解集為：34，+∞，即f（x）≥22的解集為34，+∞.

簡評 本題通過構造一條實數軸將絕對值不等式問題轉化為實數軸上一動點到兩定點的距離差值問題，求解方便快捷.

二、圖像法

1.有關方程根及其分布（曲線的交點）

例4 設定義域為R的函數f（x）=|lg|x-1||x≠1

0x=1，則關于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數解的充要條件是（ ）.

A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0D.b≥0且c=0

圖 4分析 我們先考察f（x）的圖像如圖4.

f（x）>0x≠1

f（x）=0x=1且f（x）關于x=1對稱.關于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個不同實數解，若方程有兩個不等實數根f1（x）>0，f2（x）>0，則x的方程f2（x）+bf（x）+c=0必有8個不等實數根，與所給條件矛盾.所以方程f2（x）+bf（x）+c=0只可能是一個零根和一個正根，所以c=0.另一方面，顯然有-b2×1>0，所以b<0.即得b<0且c=0.選C.

簡評 本題的關鍵：一是能夠比較正確地畫出分段函數在直角坐標系中的圖像，二是正確理解方程f2（x）+bf（x）+c=0的根的分布性質.

2.利用函數圖像研究函數性質

圖 6例5 如圖6，定圓半徑為a，圓心為（b，c），則直線ax+by+c=0與直線x-y+1=0的交點在（ ）.

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析 要確定一個點在第幾象限的基本方法是確定該點的橫、縱坐標的符號.由圖可得：a>c>0

b<0

|b|>a.

解 直線ax+by+c=0與直線x-y+1=0的交點坐標為：-b+ca+b，1-b+ca+b，由已知條件得：-b+ca+b<-1，所以1-b+ca+b<0，所以兩直線的交點在第三象限.選C.

簡評 要確定一個點在第幾象限的基本方法是確定該點的橫、縱坐標的符號.本題的關鍵是通過觀察圖像確定一些量的正負、大小關系.