一道高考最值題的多種解法

楊春猛

【摘要】問題是數(shù)學(xué)的心臟，一個(gè)好的問題反映了現(xiàn)有水平與客觀需要的矛盾，在解決這個(gè)矛盾時(shí)，從不同的角度思考會(huì)得到不同的解法.本文以一道高考題為例，介紹最值問題的常見解法和解題思路，并且將最值問題的解法一般化，旨在引導(dǎo)學(xué)生更好地處理最值問題.

【關(guān)鍵詞】高考；數(shù)學(xué)；最值；解法

2009年全國(guó)卷Ⅰ理科16題題目為：

若π4

本題為最值問題，可以從構(gòu)造幾何圖形的角度來求解，也可以從代數(shù)的角度來思考，筆者從以下幾個(gè)不同的角度給出多種解法，并總結(jié)了最值問題常見的解題思路和方法.

角度一：化歸為基本函數(shù)問題

解 令tanx=t，∵π4

∴t>1.

∴y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=21t4-1t2=21t2-122-14≤2-14=-8.

把函數(shù)最值（值域）問題化歸為基本函數(shù)問題來求解是很自然的想法，本題化歸為初中就學(xué)習(xí)過的二次函數(shù)問題，方法自然、簡(jiǎn)潔.

角度二：均值不等式

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x，分子的最高次數(shù)為分母最高次數(shù)的兩倍，顯然可以考慮利用均值不等式來處理.

解 ∵π4

∴tanx>1，∴tan2x-1>0.

∴y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=-2·tan4x-1+1tan2x-1=-2·tan2x-1tan2x+1+1tan2x-1=-2tan2x+1+1tan2x-1=-2tan2x-1+1tan2x-1+2≤-2（2+2），

當(dāng)且僅當(dāng)tan2x-1=1tan2x-1，即tan2x=2，即tanx=2時(shí)取等號(hào).

評(píng)析 均值不等式為高中不等式中的重點(diǎn)內(nèi)容，是處理最值問題最基本、最有效的方法，使用時(shí)注意等號(hào)成立的條件.

角度三：判別式法

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m，可以考慮使用判別式法求解.

解 令tanx=t，∵π41.

令m=t2，m>1，

y=2m21-m（m>1），

整理為2m2+my-y=0，

問題轉(zhuǎn)化為二次方程2m2+my-y=0在（1，+∞）上有解.

令g（x）=2m2+my-y，

因?yàn)間（1）=2>0，

所以有：Δ≥0且-b2a>1，

即y2+8y≥0且-y4>1，

得y≤-8.

評(píng)析 和二次函數(shù)有關(guān)的最值問題常常可以考慮判別式法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題來求解.

角度四：數(shù)形結(jié)合

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2，式子為分式形式，可以考慮數(shù)形結(jié)合中的斜率模式：k=y2-y1x2-x1.

解 令tanx=t，∵π4

∴t>1.令m=t2，m>1，

y=2m21-m（m>1），式子等價(jià)于k=-2m2-0m-1，（m>1）.

求過點(diǎn)m，2m2與點(diǎn)（1，0）的直線的斜率的最小值.

法一 令y=2m2， x=m，得y=2x2.

由圖像知，所求k的最小值就是函數(shù)y=2x2過點(diǎn)（1，0）的切線的斜率.

設(shè)切點(diǎn)為（x0，2x20）， y′=4x， k切=y′x=x0=4x0.

所以有2x20-0x0-1=4x0，得x0=2.

所以k切=8， 所以k=-8.

所以所求y的最大值為-8.

法二 設(shè)切線方程為y=k（x-1）.

y=2x2，

y=k（x-1）.

得：2x2=k（x-1）.

即：2x2-kx+k=0.

令Δ=0.

得：k2-8k=0，

得：k=8或k=0（舍去）.

所以所求y的最大值為-8.

評(píng)析 數(shù)形結(jié)合百般好，當(dāng)最值問題中出現(xiàn)斜率模式、截距模式、距離模式等模式時(shí)可以考慮使用數(shù)形結(jié)合思想.

角度五：求導(dǎo)數(shù)得最值

分析 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m， （m>1）， 可以直接求導(dǎo).

解 y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2t41-t2=2m21-m， （m>1），

所以y=2m21-m， （m>1），

y′=-2mm-21-m2.

令y′=0 得m=2或m=0.

則函數(shù)y=2m21-m在1，2上為增函數(shù)，在2，+∞上為減函數(shù).

所以ymax=2·221-2=-8.

評(píng)析 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的最好工具，也是求最值的常用方法.

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，最值問題可以從不同的角度得到不同的解法，其中常見的思想方法為：基本函數(shù)法、判別式法、數(shù)形結(jié)合思想、換元法、參數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等.