三角函數解題中一個值得注意的問題

鐘明標

在解三角題中，角的取值范圍是十分重要的條件，為了解題合理、正確，既要考慮角的取值范圍的明顯條件，還應考慮角的取值范圍的隱含條件.而不少同學在解題過程中往往疏忽，使解不完整，甚至錯解.現舉例分析，以饗讀者.

一、算術根的化簡

例1 化簡1+sinα-1-sinα （α為銳角）.

錯解 原式= sinα2+cosα22- sinα2-cosα22

=sinα2+cosα2-sinα2-cosα2

=2cosα2.

分析 由0°<α<90°得0°<α2<45°，此時根據算術根定義得 sinα2-cosα22=cosα2-sinα2，所以正確結論是1+sinα-1-sinα=2sinα2.

二、求三角函數值

例2 已知α，β是三角形的兩個內角，且cosα=35，sinβ=513，求cosα+β.

錯解 α，β為三角形內角，由cosα=35得sinα=45，sinβ=513得cosβ=±1213，而cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=35·±1213-45·513.

當β為銳角時，cosβ=1213，cosα+β=1665；

當β為鈍角時，cosβ=-1213，cosα+β=-5665.

分析 事實上，仔細分析一下，β為鈍角是不可能的.若β為鈍角，又sinβ=513<12，由正弦函數性質可得β>150°.又cosα=35<22，由余弦函數性質可得α>45°，則α+β>180°，不符合α，β為三角內角的條件.所以正確的結論是cosα+β=1665.

三、求 角

例3 已知α，β為銳角，且tanα=17，sinβ=1010，求α+2β.

錯解 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α+2β<3π2 .①

又∵sinβ=1010，∴cosβ=31010，∴tanβ=13，于是tan2β=2tanβ1-tan2β=34.

則tanα+2β=tanα+tan2β1-tanαtan2β=1.②

由①②可得α+2β=π4或α+2β=5π4.

分析 ∵sinβ=1010<22，tanα=17<1，又α，β為銳角，∴0<β<π4，0<α<π4，因此0<α+2β<3π4，∴α+2β=π4才是正確的解.

四、求三角函數的最值

例4 設x1，x2是方程x2-cosθ·x+sin2θ-2cosθ=0的兩個實根，求x21+x22 的最小值.

錯解 由韋達定理

x21+x22=x1+x22-2x1x2

=cos2θ-2sin2θ-2cosθ

=3cos2θ+4cosθ-2

=3cosθ+232-103

≥-103.

故最小值為-103.

分析 x21+x22的最小值為-103顯然是錯誤的.為使方程有實根θ還必須滿足Δ≥0這一隱含條件，即cos2θ-4（sin2θ-2cosθ）≥0化為5cos2θ+8cosθ-4≥0得cosθ≥35或cosθ≤-2（舍去）.

故x21+x22=3cosθ+232-103≥325+232-103=225，其最小值應為225.

由此可見，在解三角題中，希望同學們重視角的取值范圍，熟練掌握由三角函數值縮小角的范圍的基本技能，注意總結規律，養成良好的解題習慣，從而提高解決此類問題的準確性.