質心公式推導及其在求解積分中的應用

李超群 劉智慧 張玉潔

【摘要】論文對曲線和曲面的質心公式進行了推導和證明，并舉例說明了利用質心公式求解積分問題.

【關鍵詞】質心；曲線積分；曲面積分

【基金項目】湖北省教育廳教學研究項目（No.2012139，No.2012142）

一、曲線和曲面的質心公式推導

設在xOy面上有n個質點，位于點（xi，yi），質量為mi （i=1，2，…，n）.由力學知道，該質點系的質心坐標為

x-=MyM=∑ni=1mixi∑ni=1mi，y-=MxM=∑ni=1miyi∑ni=1mi，

其中M=∑ni=1mi為該質點系的總質量，My=∑ni=1mixi，Mx=∑ni=1miyi，分別為該質點系對y軸和x軸的靜矩.

以離散的質點系的質心為基礎，現有高等數學教材上一般都給出了平片薄片和占有空間有界閉域Ω的物體的質心.本論文給出曲線形和曲面形構件的質心公式.

定理1 設一曲線形構件，占有xOy面上的一段光滑曲線弧L，在（x，y）處的線密度為μ（x，y），假定μ（x，y）在L上連續.則該曲線形構件的質心坐標為

x-=∫Lxμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds，y-=∫Lyμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds.

證明：在曲線弧L上取很小的一段弧ds（這一小段弧的弧長也記為ds），（x，y）是這小弧段上的一個點.由于ds很小，且μ（x，y）在L上連續，所以曲線弧相應于ds的部分的質量近似等于μ（x，y）ds，且這部分質量可以近似看作集中在點（x，y），于是可以寫出靜矩元素dMy=xμ（x，y）ds，dMx=yμ（x，y）ds.以這些元素為被積表達式，在光滑曲線弧L上積分，得My=∫Lxμ（x，y）ds，Mx=∫Lyμ（x，y）ds.

又由第一類曲面積分知，該曲線形構件的質量為 M=∫Lμ（x，y）ds.由此，該曲線形構件的質心坐標為x-=MyM=∫Lxμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds，y-=MxM=∫Lyμ（x，y）ds∫Lμ（x，y）ds.推論 設一曲線形構件，占有空間中一段光滑曲線弧Γ，在（x，y，z）處的線密度為μ（x，y，z），假定μ（x，y，z）在Γ上連續.則該曲線形構件的質心坐標為

x-=∫Γxμ（x，y，z）ds∫Γμ（x，y，z）ds，y-=∫Γyμ（x，y，z）ds∫Γμ（x，y，z）ds，

z-=∫Γzμ（x，y，z）ds∫Γμ（x，y，z）ds.

定理2 設一曲面形構件，占有空間中的一塊光滑曲面∑，在（x，y，z）處的面密度為μ（x，y，z），假定μ（x，y，z）在∑上連續.則該曲面形構件的質心坐標為

x-=∑xμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，y-=∑yμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，

z-=∑zμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS.

證明 將曲面∑分為n個小曲面ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，它們的面積也記為ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.（xi，yi，zi）是ΔSi上的任意一點（i=1，2，…，n）.記λ為ΔSi（i=1，2，…，n）直徑的最大值.當λ充分小時，由于μ（x，y，z）在∑上連續，所以ΔSi上的質量可以近似等于μ（xi，yi，zi）ΔSi（i=1，2，…，n）.于是∑的質心坐標可以近似地等于

∑ni=1xiμ（xi，yi，zi）ΔSi∑ni=1μ（xi，yi，zi）ΔSi，∑ni=1yiμ（xi，yi，zi）ΔSi∑ni=1μ（xi，yi，zi）ΔSi，

∑ni=1ziμ（xi，yi，zi）ΔSi∑ni=1μ（xi，yi，zi）ΔSi，

當λ→0時，上述三個量的極限正是曲面形構件的質心坐標，

x-=∑xμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，y-=∑yμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS，

z-=∑zμ（x，y，z）dS∑μ（x，y，z）dS.

二、舉 例

例1 計算積分I=∫Γ（x-y+z2）ds，其中Γ為球面x2+y2+z2=a2 與平面x+y+z=0的交線.

解 由定理3，當曲線形構件的密度函數μ（x，y，z）為常數，質心坐標就成了

x-=∫Γxds∫Γds，y-=∫Γyds∫Γds，z-=∫Γzds∫Γds.

由對稱性，曲線Γ的質心坐標一定在原點，因此有x-=y-=z-=0.由此，

∫Γxds=∫Γyds=0.

又由對稱性，有

∫Γx2ds=∫Γy2ds=∫Γz2ds.

因此

I=13∫Γ（x2+y2+z2）ds=a23∫Γds=a232πa=2πa33.

例2 計算積分I=∑（x+y+z）dS，∑為球面x2+y2+z2=a2 上z≥h的部分（0

解 由定理4，當曲面∑的面密度函數μ（x，y，z）為常數時，質心坐標就成了

x-=∑xdS∑dS，y-=∑ydS∑dS，z-=∑zdS∑dS.

∑為球面x2+y2+z2=a2 上z≥h的部分，由對稱性，質心一定位于z軸上，于是x-=y-=0，由此得∑xdS=∑ydS=0.∑向xOy面的投影區域記為Dxy：{（x，y）|x2+y2≤a2-h2}，因此

I=∑zdS=Dxyadxdy=aπ（a2-h2）=π（a3-ah2）.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]杜伯仁，趙晶等編.高等數學習作課精編[M].北京：國防工業出版社，2002.