數列求和的常見方法

王立高

在近幾年高考數學試卷中，數列的求和是必考的內容之一，而求和的數列多以已知數列的函數式給出，許多數列常常無法直接求和，需要拆項分解，裂項相消或錯位相減，或其他方法最終求出結果，下列簡介幾種常用方法.

一、通項分解法

將數列中的每一項拆成幾項，然后重新分組，將一般數列的求和問題轉化為特殊數列的求和問題，把這種方法稱為通項分解法，運用這種方法的關鍵是通項變形.

例1 （2010.全國卷Ⅱ文）已知{an}是各項均為正數的等比數列，且a1+a2=21a1+1a2，a3+a4+a5=641a3+1a4+1a5，①求{an}的通項公式；

②設bn=an+1an2，求數列{bn}的前n項和Tn.

解析 ①設公比為q，則an=a1qn-1，由已知有

a1+a1q=21a1+1a1q，

a1q2+a1q3+a1q4=641a1q2+1a1q3+1a1q4.

化簡得a21q=2，

a21q6=64.又a1>0，故a1=1，q=2.

所以an=2n-1.

② 由①知bn=an+1an2=a2n+1a2n+2=4n-1+14n-1=2.

所以Tn=1+4+…+4n-1+1+14+…+14n-1+2n

=4n-14-1+1-14n1-14+2n=13（4n-41-n）+2n+1.

二、裂項相消法

裂項相消法求和就是將數列中的每一項拆成兩項或多項，使這些拆開的項出現有規律的相互抵消，把沒有抵消掉的合并化簡，從而達到求和目的.

例2 （2010山東理）已知等差數列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前幾項和為Sn.①求an及Sn，②令bn=1a2n-1（n∈N+），求數列{bn}的前幾項和Tn.

解 ①設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由于a3=7，a5+a7=26.

所以a1+2d=7，

2a1+10d=26. 解得 a1=3，

d=2.

由公式知an=2n+1，Sn=n（n+2）.

②因為an=2n+1，所以a2n-1=4n（n+1），

因此bn=14n（n+1）=141n-1n+1

故Tn=b1+b2+…+bn=141-12+12-13+…+1n-1n+1=141-1n+1=n4（n+1）.

所以數列{bn}的前幾項和Tn=n4（n+1）.

三、錯位相減法

如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，則求和可采用錯位相減法.運用此方法時，一般和式比較復雜，運算量大，易會不易對，應特別細心，解題時若含參數，要注意分類討論.

例3 （09山東）等比數列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n∈N+，點（n，Sn）均在函數y=bx+r（b>0且b≠1，b、r均為常數）的圖像上，①求r的値；

②當b=2時，記bn=n+14an（n∈N+），求數列{bn}的前幾項和Tn.

解析 ①由題意，Sn=bn+r，當n≥2時，Sn-1=bn-1+r，

所以an=Sn-Sn-1=bn-1（b-1）.

由于b>0且b≠1，所以當n≥2時，{an}是以b為公比的等比數列

又a1=b+r，a2=b（b-1），a2a1=b，即b（b-1）b+r=b.

∴r=-1.

②由①知，n∈N+，an=（b-1）bn-1，當b=2時，an=2n-1.

所以bn=n+14×2n-1=n+12n+1，

Tn=222+323+424+…+n+12n+1，

12Tn=223+324+…+n2n+1+n+12n+2.

兩式相減，得

12Tn=222+123+124+…+12n+1-n+12n+2

=12+123（1-12n-1）1-12-n+12n+2=34-12n+1-n+12n+2.

故 Tn=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1.