圖形在數學教學中的重要性

閆永芳

【摘要】圖形在數學課堂教學中最為重要，它使學生對課本知識從感性認識上升到理性認識，也是培養學生正確地進行思考數學問題和準確表達數形結合思想的重要途徑.在數學教學中數形結合思想的培養尤為重要.

【關鍵詞】構造圖形；獨特解法；切割線定理；解決問題

圖形在解決數學問題中占有很大的比重，我們都知道幾何離不開圖形，但是代數和圖形也是分不開的，有相應圖形的出現數學問題會變得尤為簡單.圖形給我們解決數學問題帶來很大的幫助.下面我從幾方面來說說圖形給我們帶來的方便.

1.探索問題時圖形會給我們帶來獨特解法

例1 證明四邊形的內角和等于360°.

證明這個定理，學生能夠想到用一條或兩條對角線把四邊形分割成兩個或四個三角形來證明，這種方法不錯，但還可探索其他分割方法，以下是學生作圖找到的六種新的分割方法，是圖形給了學生很大的啟發.

圖形給學生創造了解決問題的思路，同時也提高了學生的創造性思維能力.要鼓勵學生標新立異，使其用盡可能用自己的方式去解決問題.

2.作不同的圖形一題就會有不同的解法，從而培養學生的思維能力

新教學大綱要求教師樹立學生發展的教育觀念，改革教學方法和教學手段，激發學生學習數學的興趣，培養學生的創新精神和實踐能力，提高學生的素質，塑造學生創造性的人格，現行數學課本中許多題內涵豐富，對學生思維能力有不同尋常的作用和豐富的教學價值.因此在教學中要善于通過“圖形”引導學生的思維能力的發展.

例2 如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，AD=2，AE=1，求CD的長.

分析1 如圖，由AD，AB分別是⊙O的切線和割線，可用切割線定理求出AB的長.由CB=CD，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出CD的長.

解法1 由切割線定理得AD2=AE·AB，

即22=1·AB，∴BC=CD.∴AB=4.

∴（CD+AD）2=CB2+42，

即（CD+2）2=CD2+42，

解得：CD=3.

分析2 在△ABC中，利用勾股定理求CD的長，應先求出⊙O的半徑，這是解決問題的關鍵.

解法2 如圖，連接DO，則DO⊥AC，

設DO=x，則AO=x+1.

∵（x+1）2=x2+22，

∴2x=3，即x=32.

然后，在Rt△ABC中，由勾股定理求出CD的長.（以下同解法1，略）

分析3 尋找CD與BE的關系，也可以用面積法，即由三角形的面積公式去解.

解法3 如圖，連接OD，OD⊥AC，根據前面解法知BE=3.

∵S△ABC=S△CAO=S△COB，

∴12AB·BC=12AC·OD+12OB·BC，

即AB·BC=AC·OD+OB·BC.

∵AB=1+BE=1+2OB，AC=2+CD，BC=CD，

∴（1+2OB）·CD=（2+CD）·OB+OB·CD.

∴CD=2OB=3.

分析4 由△ADE∽△ABD可求出DBDE的值，而在Rt△CBO∽Rt△BDE中CBOD=BDDE，從而可求出CB的長.

解法4 如圖，連接DE，DB，CO，則∠ADE=∠ABD.

∵△ADE∽△ABD，∴DEBD=ADAB.

由前面解法知AB=4，AD=2，

∴BDDE=2.

在△CBO與△BDE中，

∵∠CBO=∠BDE=90°，∠COB=∠BED （CO∥DE），

∴△CBO∽△BDE.∴BCBO=BDBE=2，

即BC=2BO=2×32=3，于是DC=BC=3.

此題用不同的作圖方法，從不同的角度，沿著不同的方向尋找問題的解法.在這幾種解法中，運用了幾何圖形和初中的許多知識和方法（例如：切割線定理、勾股定理、相似三角形等），它對培養學生思維的發散性、廣闊性和靈活性是很有益的.

3.構造圖形，解決問題，充分發揮學生的主動性

我們學習數學的過程中，有很多問題利用一般的方法很難解決，于是我們要考慮能否將“數”轉化為“形”，也就是構造一個圖形來解決問題.

例3 試求函數f（θ）=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ的最小值.

分析 本題難度較大，用一般的方法不宜求解，且過程十分繁瑣，于是我們考慮將“數”轉化為“形”.

解 f（θ）=3-2cosθ-2sinθ+2+2cosθ=（cosθ-1）2+（sinθ-1）2+（cosθ+1）2+sin2θ=x+y，

則x=（cosθ-1）2+（sinθ-1）2為M（cosθ，sinθ）到點P（1，1）的距離，y=（cosθ+1）2+sin2θ為點M到點Q（-1，0）的距離，而點M（cosθ，sinθ）是單位圓上的點M到兩定點P，Q距離和的最小值.

如圖所示，當M為PQ與單位圓的交點時MP+MQ有最小值，此時MP+MQ=PQ=1+22=5，即f（θ）的最小值為5.

例4 已知：0

分析 a2+b2表示以a， b為直角邊的直角三角形的斜邊，因此本題也可用幾何法解決.

解 如圖，在單位正方形中，

BD=2，OD=a2+b2，OB=（1-a）2+（1-b）2.

因為OB+OD≥BD（當且僅當O在BD上時取“2”），

所以a2+b2+（1-a）2+（1-b）2≥2.

以上幾個例子都說明圖形在數學中的重要性，在長期教學實踐中，對基礎題加以研究，觸類旁通，從各個方面充分發揮學生對圖形的構造能力.激發學生學習數學的興趣，增強學習積極性，是我們每位數學教師的希望.同時，也使教育的功能和目標得到更好的落實.所以，圖形在數學學習和教學中是非常重要的，我們要想辦法培養學生去創造圖形，應用圖形來解決實際問題的能力.