函數(shù)的零點(diǎn)和方程

鞏繼忠

【摘要】函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根密不可分，在高考試題中常見(jiàn)，本文對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根之間的聯(lián)系，根據(jù)幾道例題從一個(gè)全新的思路介紹在高考實(shí)戰(zhàn)中的解題方法.

1.利用零點(diǎn)存在性定理判斷

設(shè)f（x）=ex+x-4，則函數(shù)f（x）的零點(diǎn)位于區(qū)間

A.（-1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3）

解 f（x）=ex+x-4在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)

f（-1）=e-1-5<0，f（0）=-3<0 f（1）=e-3<0，f（2）=e2-2>0.

則f（1）f（2）<0.

所以選C.

2.利用解方程判斷

若函數(shù)f（x）=log2（a-2x）+x-2存在零點(diǎn)，則a的取值范圍？

解 若f（x）存在零點(diǎn)，則方程log2（a-2x）=2-x有根，

即22-x=a-2x有根.

令2x=t，0

則原方程等價(jià)于4t=a-t有正根

即t2-at+4=0有正根（-a）2-4×4≥0，，

t1+t2=a>0.

所以a≥4.

3.利用函數(shù)的性質(zhì)判斷

已知f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（-x+2），方程f（x）=0在[0，1]內(nèi)有且只有一個(gè)根x=12，則f（x）=0在區(qū)間[0，8]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為？

解 由f（x+1）=f（x-1）可知f（x+2）=f（x）

所以函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=0在區(qū)間[0，1]內(nèi)有且只有一個(gè)根x=12，所以函數(shù)f（x）=0在區(qū)間[0，8]內(nèi)根的個(gè)數(shù)為8個(gè).

4.利用數(shù)形結(jié)合判斷

已知函數(shù)f（x）=2xx≥2

（x-1）3x<2 若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍？

解 作出函數(shù)f（x）的圖像，

由圖像可知要使f（x）=k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則有0

5.利用導(dǎo)數(shù)判斷

若函數(shù)f（x）=1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013cos2x在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為？

解 根據(jù)x∈[-3，3]可知x=±π4，±3π4，

故cosx=0有4個(gè)零點(diǎn)，

又令g（x）=1+x-x22+x33-x44+…-x20122012+x20132013

g′（x）=1-x+x2-x3+x4-…-x2011+x2012=1+x20131+x，g′（x）>0.

故函數(shù)在[-3，3]上遞增，g（-1）<0，g（0）>0，所以函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)f（x）有5個(gè)零點(diǎn).