待定系數法在高中數學解題中的應用

李家鑫 湯強

【摘要】待定系數法是我們中學數學所需學習和掌握的一種重要解題方法，它幾乎滲透到中學數學的各個知識領域，如在代數領域中的多項式、函數、數列、不等式、矩陣等；在幾何領域中的解析幾何，具有廣泛的適用性.所以說，它是我們解初等數學的常用、有效的方法.

【關鍵詞】高中數學；待定系數法

待定系數法：即是先設出所求結果的含參解析式（關系結構式），再根據已知條件，或對應項（位置）的系數相等，建立關于參數的方程（組），最后解出參數，從而求得解析式（關系結構式）.其實質就是方程思想.下面我們從代數、幾何兩方面來列舉實例研究.

一、在代數中的應用

1.多項式的因式分解

我們知道任何一個高次多項式（次數大于2）在實數范圍內可分解成幾個一次或二次多項式的乘積形式，所以我們可先設出它的含參的因式分解結果形式，用待定系數法來解.

例1 因式分解多項式：x4+x2+2ax+1-a2.

解析 多項式x4+x2+2ax+1-a2可先分解成兩個二次多項式乘積的形式，設為：

x4+x2+2ax+1-a2=（x2+Ax+B）（x2+Cx+D），展開等式右邊，由對應項的系數相等得到：

C+A=0

B+D+AC=1

AD+BC=2a

BD=1-a2A=1，

B=1-a，

C=-1，

D=1+a.

所以，x4+x2+2ax+1-a2=（x2+x+1-a）（x2-x+1+a），而此兩個二次多項式在實數范圍內不能再因式分解，故這就是因式分解的最終結果.

小結 解此題關鍵在于：寫出此多項式的含參因式分解形式，再展開，根據對應項的系數相等，建立方程組，求出參數即可.已確定所求函數的類型是此題解題的突破口.

2.求數列的通項式

求數列通項式方法有多種，而待定系數法是一種常見、重要的方法.主要適用于遞推式形如：an+1=λ·an+f（n）（其中f（n）可為常數、關于n的多項式，或關于n的指、對數式等）.

（Ⅰ） 當f（n）=k（k為常數）時，即an+1=λ·an+k.

例2 已知數列{an}滿足a1=3，an+1=3an+2，求an.

解析 由已知遞推式an+1=3an+2，可構造一個含參數λ的等價遞推式：an+1+λ=3（an+λ），然后將此式展開移項，由和已知遞推式對應項的系數相等，解出λ=1，所以得到： 新數列{an+1}是以首項為4，公比為3的等比數列，由等比數列通項式公式得：an+1=4·3n-1，從而求出：an=4·3n-1-1.

小結 通過待定系數法對已知遞推式進行等價變形，得到一個新的數列（等比數列），通過求此等比數列的通項式，從而解得已知數列的通項式.

（Ⅱ）當f（n）=k·n+l（k，l為常數）時，即an+1=λ·an+（k·n+l）.

二、在解析幾何中的應用

常用于求直線、切線、圓、圓錐曲線的方程等.

例3 求經過點A（0，2）和B12，3的橢圓的標準方程.

解析 因為橢圓的焦點位置不確定，可采取分類討論的方法來求標準方程，但由于分類討論較復雜，這里可直接設橢圓的方程為Ax2+By2=1（A≠B，A>0，B>0）.

由條件可得：4B=1

14A+3B=1A=1，

B=14.

即橢圓標準方程為x2+y24=1.

小結 恰當地設出橢圓方程，可以避免分類討論，達到運算簡便的目的.

通過以上例子的講解，相信同學們對待定系數法有了更進一步的理解和掌握，在做題時不再是模棱兩可，而是有目的、有層次的，更清楚我們在求什么樣的問題時，可選擇待定系數法和怎么去用待定系數法.簡而言之，即當所求問題的一般形式（關系結構）是我們已知的（直接能設出），這時就采用待定系數法來解，這也是用待定系數法解題的關鍵之處.