直線與橢圓的相關問題

齊建國

1.直線與橢圓的位置關系

直線與橢圓的位置關系有三種：相交、相切、相離.

判定方法1 利用橢圓上的點到直線的最短距離判定

判定方法2 判別式法

例1 m為何值時直線y=x+m與橢圓x2+4y2=4相交、相切、相離？

解 將y=x+m代入x2+4y2=4中，得

5x2+8mx+4m2-4=0.

∵Δ=（8m）2-4×5×（4m2-4）=-16（4m2-5），

∴當50直線與橢圓相交；

當m=±5時，Δ=0直線與橢圓相切；

當m<-5或m>5時，Δ<0直線與橢圓相離.

2.橢圓截直線所得的弦長

①直線y=kx+b與橢圓x2a2+y2b2=1相交，則橢圓截直線所得的弦長l=1+k2|x1-x2|.

②直線x=my+a與橢圓x2a2+y2b2=1相交，則橢圓截直線所得的弦長l=1+m2|y1-y2|.

例2 已知斜率為1的直線過橢圓x2+4y2=4的右焦點，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長.

解法1 設A（x1，y1），B（x2，y2），由橢圓方程知右焦點為F（3，0），故所求直線方程為y=x-3，代入橢圓方程得5x2-83x+8=0.∵x1+x2=835，x1x2=85，

解 ∴AB=l=1+k2|x1-x2|=85.

方法2 也可由焦半徑求得AB=|AF|+|BF|=2a-e（x1+x2）=85.

3.橢圓上點到直線的距離

例3 若點P在橢圓7x2+4y2=28上，求點P到直線3x-2y-16=0的最大距離.

解法1 設3x-2y+d=0與橢圓7x2+4y2=28相切，

聯立解得16x2+6dx+d2-28=0.

Δ=36d2-4×16（d2-28）=0，解得d=±8.

d=8時兩平行線間的距離為|-8-16|3=241313.

241313即為點P到直線3x-2y-16=0的最大距離.

解法2 設點P的坐標為P（2cosα，7sinα），

則點P到直線3x-2y-16=0的距離為

d=|6cosα-27sinα-16|13=|8cos（α+φ）-16|13.

∴dmax=|8-16|13=241313.

4.橢圓的弦被弦上的點分為比例線段

例4 過橢圓x216+y24=1內一點M（2，1）引一條弦，使弦被M點評分.求這條弦所在的直線方程.

解法1 設所求直線方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程得（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0.

設直線與橢圓的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=8（2k2-k）4k2+1=4，

解得k=-12.

∴所求的直線方程為x+2y-4=0.

解法2 設直線與橢圓交點為A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵點M（2，1）為AB中點，

∴x1+x2=4，y1+y2=2.

又∵點A，B在橢圓上，

∴x21+4y21=16，x22+4y22=16.

兩式相減，得

（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0.

∴-y1-y2x1-x2=x1+x24（y1+y2）=12.

∴直線方程為x+2y-4=0.

解法3 設直線與橢圓交于點A（x，y），由于中點為M（2，1），則另一交點為B（4-x，2-y）.

∵A，B都在橢圓上，

∴x2+4y2=16，（4-x）2+4（2-y）2=16.

兩式相減得x+2y-4=0.

例4是比較常見的中點弦的問題，其解法是典型的設而不求.而下面的一般則不常見.

例5 過點M（0，1）作橢圓x24+y23=1的弦AB，使AM=2MB.

解 設A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵AM=2MB，∴x1=-2x2，y1=-2y2+3.

又∵A，B在橢圓上，∴3x22+4y22=12，

3（-2x2）2+4（3-2y2）2=12，

解之得y2=32，y1=0，

x2=1，x1=-2.

∴AB所在的直線方程為x-2y+2=0.