談解析函數中有限孤立奇點的判定方法

張繼兵

【摘要】有限孤立奇點是解析函數的奇點中最重要的內容，是求復數積分的重要工具.下面給出判定有限孤立奇點的類型有三種方法，即定義法、定理法、復合法.

【關鍵詞】可去奇點；極點；本質奇點

解析函數是復變函數論研究的主要對象，孤立奇點是解析函數的奇點中最重要的內容，它是判定整函數、有理函數、亞純函數等的依據，也是求復數積分的重要工具.下面談談解析函數孤立奇點的判定方法.

一、定義法

孤立奇點分三類，它們是可去奇點、極點、本質奇點.定義如下：

1.設a≠∞（以下的a均滿足為a≠∞）是函數f（z）的孤立奇點，如果在點a處展成洛朗級數，展式含z-a的主要部分為零.稱點a為函數f（z）的可去奇點.

例1 判定z=0是函數f（z）=1-coszz2的哪類孤立奇點.

解 f（z）=1-coszz2=1z2（1-∑∞n=0（-1）nz2n（2n）！）=∑∞n=1（-1）n+1z2n-2（2n）！ ，n∈N*.

由定義知z=0是函數f（z）=1-coszz2的可去奇點.

2.設a為函數的孤立奇點，如果在點a處展成洛朗級數，展式含z-a的主要部分為有限項，即f（z）=c-1z-a+c-2（z-a）2+…+c-m（z-a）m+∑∞n=0cn（z-a）n，其中m∈N*，n∈N*.稱點a為函數f（z）的m階極點.

二、定理法

有些函數在有限的孤立奇點處不易展成洛朗級數，便可以利用下面的定理來判定解析函數的孤立奇點的類型.

定理1.1 如果孤立奇點a為函數f（z）的可去奇點，則下列兩條是等價的：

（1）limz→af（z）=b≠∞；

（2）f（z）在點a的某去心鄰域內有界.

定理1.2 如果孤立奇點a為函數f（z）的極點，則下列三條是等價的：

（1）limz→af（z）=∞；

（2）f（z）在點a的某去心鄰域內能表示成f（z）=λ（z）（z-a）m，其中λ（z）在點a的鄰域內解析，且λ（a）≠0，則a為f（z）的m階極點；

（3）g（z）=1f（z）以點a為m階零點.

定理1.3 如果孤立奇點a為函數f（z）的本質奇點，則下列兩條是等價的

（1）limz→af（z）不存在；

（2） 點a為函數1f（z）的本質奇點.

例2 判定z=0是函數f（z）=sinzz的哪類孤立奇點.

解 f（z）=limz→0sinzz=1.

由定理1.1知z=0是函數f（z）=sinzz的可去奇點.

例3 判定z=1是函數f（z）=（z-5）cosz（z-1）2的哪類孤立奇點.

解 令λ（z）=（z-5）cosz，因為λ（z）在復平面上解析，λ（1）=-4cos1≠0.

由定理1.2（2）知z=1是函數f（z）=（z-5）cosz（z-1）2的2階極點.

三、復合法

對于由兩個或兩個以上的函數組成的新的函數判定孤立奇點類型可用復合法來判定，準確又快.具體方法如下：

定理2.1 函數f（z），g（z）分別以點a為m階極點及n階極點，則：

（1）當m≠n時，點a為f（z）+g（z）的max{m，n}的極點；當m=n時，點a是f（z）+g（z）的極點，其階數不高于m，點a也可能是f（z）+g（z）的可去奇點.

（2）點a為f（z）·g（z）的m+n階極點.

（3） 當mn時，點a為f（z）g（z）的m-n階的極點.

定理2.2 函數f（z）不恒為零且以點a為解析點或極點，函數g（z）以點a為本質奇點，則點a為函數f（z）±g（z），f（z）·g（z），f（z）g（z）的本質奇點.

例4 判定z=0是函數f（z）=sin1z+1z2的哪類孤立奇點.

解 因為z=0是sin1z的本質奇點，z=0是1z2的2階極點.

所以由定理2.2知z=0是函數f（z）=sin1z+1z2的本質奇點.

總之，掌握了解析函數的孤立奇點的判定方法，為之后的復數積分的計算奠定了良好的基礎，也是學好復變函數重要基礎.