冪級數中阿貝爾定理的另一證法

孔朝莉

【摘要】從根式判別法出發，給出了判斷冪級數斂散性的阿貝爾定理的另一個證明方法.

【關鍵詞】冪級數；阿貝爾定理；斂散性；根式判別法

【中圖分類號】O213

【文獻標志碼】A

【基金項目】三亞學院教學改革立項課題 課題編號：Syxyjy120201

關于冪級數斂散性，阿貝爾定理給出了判別方法.一般的數學教材中，阿貝爾定理的證明采用的是比較判別法.本文從根式判別法出發，給出了阿貝爾定理的另一種證明方法，并由此更加自然地給出冪級數收斂半徑的定義和求法.

一、阿貝爾（Abel）定理

定理（阿貝爾（Abel）定理） 如果冪級數∑∞n=0anxn當x=x0x0≠0時收斂，則適合不等式xx0的一切x，此冪級數均發散.

該定理第一部分需要證明∑∞n=0anxn絕對收斂性，這涉及正項級數的斂散性的判別，下面給出相關的正項級數審斂法.

二、正項級數審斂法

（一）比較判別法

第一比較準則 設∑∞n=1un和∑∞n=1vn均為正項級數，且un≤vn（n=1，2，…），

若∑∞n=1vn收斂，則∑∞n=1un收斂；反之，若∑∞n=1un發散，則∑∞n=1vn發散.

第二比較準則 設∑∞n=1un和∑∞n=1vn均為正項級數，如果limn→∞unvn=l，則

（1）當0

（2）當l=0時，若∑∞n=1vn收斂，則∑∞n=1un收斂；

（3）l=+∞，若∑∞n=1vn發散，則∑∞n=1un發散.

（二）比值判別法（達朗貝爾判別法）

設∑∞n=1un是正項級數，如果limn→∞un+1un=ρ（ρ為有限數或+∞），則ρ<1時級數收斂；

ρ>1或limn→∞un+1un=+∞時級數發散.

（三）根式判別法（極限形式）

設∑∞n=1un是正項級數，如果limn→∞nun=ρ，則

三、阿貝爾（Abel）定理的證明

這里給出如下相關兩個引理.引理1的證明一般高等數學教材都有，引理2的結論顯然成立.

引理1 若數項級數∑∞n=1un收斂，則limn→∞un=0.

引理2對于數列xn，如果N>0，當n>N時，0≤xn<1，則limn→∞nxn≤1.

Abel定理證明1（比較判別法） 設x0是冪級數的收斂點，即級數∑∞n=0anxn0收斂，由引理1，有limn→∞anxn0=0，則存在正數M，使anxn0

anxn=anxn0·xnxn0=anxn0·xx0n≤Mxx0n，因為當x

定理的第二部分用反證法來證明.設冪級數∑∞n=0anxn在點x0發散，且有一點x1，適合x1>x0，使冪級數收斂，則根據本定理的第一部分，冪級數在點x0應收斂，這與所設矛盾，定理得證.

由于級數∑∞n=0anxn中含xn項，因此本文考慮嘗試用根式判別法來證明阿貝爾定理.由于limn→∞nanxn0不一定存在，下面采用根式判別法（3′）來證明阿貝爾定理.

Abel定理證明2（根式判別法）設x0是冪級數的收斂點，即級數∑∞n=0anxn0收斂，由引理1，有limn→∞anxn0=0，因此對ε≤1，N0>0，當n>N0時，anxn0<ε<1，由引理3，limn→∞nanxn0≤1，又因為當x

由根式判別法（3′），級數∑∞n=0anxn收斂，也就是冪級數∑∞n=0anxn絕對收斂.

定理的第二部分同樣可用反證法來證明.

通過本定理的證明，可以自然地給出冪級數收斂半徑的定義和求法.

若記ρ=limn→∞nan（ρ≥0），則由根式判別法（3），limn→∞nanxn=ρx，當ρx<1時，級數∑∞n=0anxn收斂.當ρ=0，所有的x都是收斂點，0<ρ<+∞，只要x<1ρ，級數∑∞n=0anxn均收斂，因此收斂半徑為R=1ρ或R=+∞；當ρx>1時，級數∑∞n=0anxn在除了x=0以外的點外都發散，收斂半徑為R=0.