促進思維發展的高中數學課堂教學問題設計研究課題

王波鳳

關于“雙曲線幾何性質（第一課時）”教學設計方案很多，仁者見仁，智者見智，下面就筆者在秦淮中學文科班上此課教學過程中的問題設計與大家分享.

（一）創設情境

問題1 前面我們根據雙曲線的定義建立了雙曲線的標準方程，現在已知雙曲線的標準方程是x24-y2=1，請你準確畫出此雙曲線的圖形.

設計意圖 接著上節課學的內容提出問題，給學生留下了思維的空間，有利于調動學生自主學習的積極性.通過先獨立作圖后協作交流，學生能相互補充. 學生在列表計算過程中，通過具體數據的計算，對雙曲線的性質有了直覺性的體驗.在引導學生反思畫圖的過程中，深化對圖像特征的認識.讓學生感受研究雙曲線范圍、頂點、對稱性等性質的必要性.

（二）制定策略，自主探究

問題2 如何比較準確地畫出雙曲線x24-y2=1向遠處延展的方向呢？

設計意圖 雙曲線頂點及附近的點準確地描出來沒有問題，但雙曲線向遠處是如何延展的學生就不是很清楚了！雙曲線漸近線的學習是本節課的難點，漸近線帶領雙曲線向遠處正確的道路上延展，不會走向錯誤的道路.引導雙曲線漸近線性質從學生在列表時給出的第一象限函數y=x24-1=12x2-4的圖像與直線y=12x的關系入手.

問題3 一般的，標準方程是x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的雙曲線有哪些幾何性質？你打算如何來研究？標準方程是y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的雙曲線呢？

設計意圖 類比研究橢圓幾何性質的方法，讓學生由一般到特殊，自主探究，匯報交流，展現思維過程，相互評價，相互啟發，促進反思，歸納一般雙曲線的幾何性質，明確研究的內容與方法，從總體上認識研究的目標與手段.

問題4 橢圓的離心率是刻畫橢圓的扁平程度的一個量，雙曲線的離心率刻畫雙曲線的什么幾何特征？

設計意圖 通過與橢圓的類比提出雙曲線的離心率問題，再由漸近線的開口大小與ba的關系、ca與ba的關系來展開研究的過程，有利于學生進一步對雙曲線幾何性質的認識.

（三）新知運用，鞏固深化

例 求雙曲線9x2-16y2=144的實虛軸長、點坐標、離心率及漸近線方程.

設計意圖 通過具體問題掌握求雙曲線性質的基本方法，達到鞏固作用.

（四）概括總結，提升思想

問題5 回顧我們的研究過程，我們是怎樣研究雙曲線幾何性質的？

設計意圖 整理本節課所學知識與方法，回顧學習過程，提煉研究圓錐曲線性質的一般方法和思想——從方程入手用代數方法研究幾何問題的方法以及類比和數形結合的思想.

教后反思回顧

本節課在學生自主探索的過程中，教師應注意培養學生良好的思維習慣.觀察并歸納性質，既需要特殊到一般的推理模式，也應養成有序進行觀察和歸納的良好的思維習慣.對所歸納的雙曲線的性質，應根據學生已有的知識水平或教學要求進行證明或合理的說明.學生不僅學到了數學知識，也初步體驗了研究問題的基本方法.本節課的教學設計，力圖體現因材施教原則，不同的學情下，教師應采用不同的教學策略.如果學生基礎相對薄弱，問題的提出可以分層次進行.此外，注意通過“你是怎么想的？”“你同意他的意見嗎？為什么？”等問話形式，促使學生暴露思維過程.另外，在圓錐曲線的研究中，信息技術發揮了很好的作用，借助信息技術可以方便地畫出曲線圖形，通過改變某些基本量幫助我們發現曲線的幾何特征和基本性質（變中不變的），如在研究雙曲線的漸近線和離心率性質時適宜的用畫板給出圖像，讓學生進行數學探究、數學發現等等.