關于反例在復數教學中的作用

陳孟算

指出錯誤最有說服力也是最有效的辦法莫過于舉出反例，反例在中學數學中的應用極為廣泛，在教學中若能應用得當，常可達到意想不到的效果.本文就反例在復數教學中的作用談談幾點看法.

1、反例是深化概念，加深理解基礎知識的重要手段

數學的概念、定理或公式一般都是從正面進行論述的，這往往導致學生機械地、片面地理解概念，對一個新學的定理、公式又往往忽略了其中的關鍵性詞句或對符號意義不明確.如果在教學過程中，在學生正面認識概念、定理、公式的基礎上，適時地通過反例從反面、側面去剖析，那么就可深化對概念、定理、公式的理解.這時反例就成加深理解和記憶的重要手段.

例如：在講授復數相等的概念時，a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）a=c，b=d

學生往往略去a，b，c，d∈R，對此應及時地舉出反例，如a=0，b=i，c=-1，d=0時，a+bi=c+di但a≠c，b≠d.因而澄清學生的錯誤認識，明確復數相等概念中a，b，c，d∈R的重要性.

又如，在學習虛根共軛成對定理時，學生由于對定理中“實系數”這個關鍵性詞句的忽略、不重視而造成錯誤，這時通過反例：已知方程x2+2x+m=0有一個根i，求m的值.學生往往錯解為：因為i是原方程的根，所以-i也是原方程 的根，由韋達定理得m=i×（-i）=1，但根據上面結果原方程變為x2+2x+1=0，顯然±i都不是它的根.正解為：因為i是原方程的根，所以i2+2i+m=0得m=1-2i，這時原方程的另一個根為2-i，可見對于非實系數方程不能利用虛根共軛成對定理.

二、反例是克服負遷移的有效措施

知識的負遷移在學習中的反作用是不可忽視的，它妨礙了學生的進一步學習，在教學中若能適時地選用反例，可有效地克服負遷移.

例如，在學習復數時，學生常常想當然地把實數中的結論不加分析地運用到復數中，從而造成錯誤.比如“若z21+z22=0則z1=z2=0”，“z2=|z|2”，“實系數二次方程的兩根x1，x2，則|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2”等實數范圍成立，但在復數范圍不成立的想法.我們可通過反例，說明其不成立.所以在平時注意實數范圍內成立結論，不能隨意地不加分析地運用到復數中去，從而有效地防止了知識的負遷移.

三、反例是否定假命題的主要工具

要證明一個命題的正確性，必須經過嚴密的論證，而要否定一個命題，則只須舉出一個與結論矛盾的例子（即反例）就行了.例如要否定命題：z+z-=0的充要條件是z為純虛數，只須舉出反例：z=0；再如兩個復數不能比較大小，只須舉出反例復數z1=3

四、反例是發展思維，培養能力，提高創造力的重要途徑

優良的思維品質來源于積極的思維活動，只有在積極的思維活動過程中，思維能力才能得到充分的發展.教學中引導學生構造反例是培養學生思維能力、促進思維發展的重要途徑.一般地，構造反例沒有定法，有的甚至非常困難.這樣給學生提供了一個極好的創造性的題材，而每當學生成功地構造了一個反例就會無比激動，這給學生創造性帶來新的活力.而在構造反例的過程中，學生勢必嚴謹地考慮問題的各個方面，這對培養學生全面分析問題和嚴格推理的能力是極為有效的.所以說指導學生構造反例對培養學生思維的廣闊性、嚴密性等良好的思維品質，提高學生的創造能力有非常重要的作用.

最后必須指出的是：在運用反例教學及指導學生構造反例時都不能離開具體的教學內容，單純地、一味地追求反例效果也是不切實際的.