中學(xué)數(shù)學(xué)概率應(yīng)用中的幾種常見錯誤

周洪榮

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）01-0163-01

概率是新教材的一個重要內(nèi)容，是銜接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要知識。這部分內(nèi)容由于問題情境源于實(shí)際，貼近生活，所以學(xué)生樂學(xué)且易于接受；在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，每年高考都占有一席之地。但它與我們以前所學(xué)的數(shù)學(xué)知識有所不同，求解此類問題雖只須加減乘除運(yùn)算，但因思路靈活，題型繁多，結(jié)果不易驗(yàn)證，學(xué)生感覺易做但易錯。再加上有些問題比較抽象，往往容易發(fā)生錯誤。下面就列舉一些常見的錯誤類別，以提高同學(xué)們的辨別能力。

一、有關(guān)概率的一些基本概念含混不清致錯

比如“互斥”與“對立”兩個概念混淆不清，如果再混雜相互獨(dú)立事件于其中就更難于分辨了。要準(zhǔn)確解答這類問題，首先必須搞清楚互斥與對立事件的概念，事件A和B的交集為空，A與B就是互斥事件，也叫互不相容事件。若A交B為空且A并B為必然事件，那么A和B就是對立事件。舉個例子：從裝有兩個紅球和兩個黑球的甲口袋里任取兩個球，那么下面哪些是互斥事件哪些是對立事件，哪些既是互斥也是對立事件呢？①“至少有一個黑球”與“都是黑球”；②“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”；③“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”；④“至少有一個黑球”與“都是紅球”。我們來分析這個題目，他的口袋里總共有兩紅兩黑四個球，題目中取出2個球，我們來逐一分析，“至少有一個黑球”包含了取出的球?yàn)橐缓谝患t或兩黑兩種可能的結(jié)果，所以①的兩個事件實(shí)際有包含關(guān)系在里頭；“至少有一個紅球”則包含了一黑一紅或兩紅這兩種可能的結(jié)果，因此②的事件有交集；“恰好有一個黑球”表明是一黑一紅這一種結(jié)果，而“恰好有兩個黑球”與之沒有交集，所以③他們互斥，但他們的并集不是全集，因?yàn)樗麄冋l也不包含兩紅的那種情況，因此③準(zhǔn)確來說是互斥不對立的兩個事件；實(shí)際上我們?nèi)〕龅膬蓚€球只會有三種情況，一紅一黑，兩黑，兩紅，④中“至少有一個黑球”包含了前兩種，“都是紅球”包含了最后一種，所以④的兩個事件既無交集（互斥）且并集正好是全集。所以他們就是對立事件。

從這里我們可以看出，要準(zhǔn)確區(qū)分這兩個概念，必須搞清楚以下幾個關(guān)系：（1）兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；（2）互斥的概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；（3）兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生且必須發(fā)生。互斥事件是針對一個實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來說的。

二、有序與無序不分致錯

關(guān)于有序無序問題，我們在排列組合中通常會遇到這個問題，其實(shí)在概率的相關(guān)題型中，我們也會遇到此類問題，并且在概率里的順序問題更加有迷惑性不容易分清，同學(xué)們在解答中容易忽略，如何理清這個有序與無序問題呢，下面我就以一個常見題目為例，試著幫大家研究一下這個有序與無序的問題。例：甲、乙兩人參加超市的抽簽抽獎活動，共有8個不同的獎品，其中一等獎獎品5個，二等獎獎品3個，甲、乙依次各抽一簽。求：（1）甲抽到一等獎，乙抽到二等獎的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到一等獎的概率是多少？