一類基于多模型加權優化的魯棒DMC算法

張淑萍 趙桂欽

引言：研究了標準動態矩陣控制（DMC）算法在模型嚴重失配情形下的性能下降問題，然后針對多模型不確定性對象，提出了一種改進的魯棒DMC算法——基于多模型加權優化的魯棒DMC算法（RDMC）.將標準預測控制算法的三個基本原理，即預測模型，滾動優化和反饋校正，擴展為多模型預測，多模型加權滾動優化，多模型反饋校正及反饋因子的在線校正四個部分.還針對Wood/Berry乙醇—水雙組分精餾塔模型做了詳細的仿真研究。

動態矩陣控制（DMC）在過程工業上的應用獲得了極大的成功，也是目前應用最為廣泛和商業化實現最好的優化算法[1，2].標準DMC算法采用的是標稱模型，即通過現場測試或機理分析得到的標稱階躍響應模型，理論分析和工程實踐都證實在所用模型與實際過程模型很接近時，控制效果是良好的，但是當模型和實際對象相差比較大，其控制效果將大打折扣.實際工業過程中，要獲得一個工業過程或裝置的準確數學模型幾乎是不可能的，何況許多對象本身就具有時變性和非線性.面對復雜的工業對象，如何有效地將許多成熟的控制算法應用上去，是非常有意義和富有挑戰性的。

我們針對某煉油廠進行多變量約束優化控制研究時發現，絕大多數的過程都是具有純滯后的一階慣性環節.就控制而言，這樣的對象應該是十分簡單的，而事實卻是，對整個裝置而言，對象的緩慢時變性和工作點的頻繁變動是不可避免的，特別是在高度競爭的市場經濟環境下，根據庫存、價格、季節等因素的變化，定期或不定期地調整產品結構，改變局部或整個裝置的工作點，已成為企業生存的必由之路.這就要求控制和優化算法都必須具備某種程度的魯棒性能，以解決上述變化產生的模型不確定性問題.本文正是從這些實際問題入手，結合現有的理論成果，提出了基于多模型加權優化的多變量魯棒DMC算法。

一、基于多模型加權優化的多變量RDMC算法

大多數魯棒控制算法中，對參數攝動系統進行魯棒優化設計時，總是針對參數域中某一關鍵性的點進行的，如標稱點或參數攝動的邊界點等，這樣只能獲得該點意義上的最優控制，很難兼顧系統[]在參數域其他點的性能.標稱法和最小最大法是這類方法中常見的兩種方法.實際應用中，往往要求在不犧牲性能的條件下，能同時兼顧多個工作點，這對于采用單一模型的算法來說是很困難的.有文獻提出在概率描述框架下，通過對系統的不同參數攝動狀態進行概率加權綜合二次性能指標尋優，實現整個參數域的一體化設計[3].這種基于概率魯棒優化的思想對于時變特征明顯、而且模型參數攝動概率與優化計算中采用的概率相吻合的情形，總體優化性能是好的，在統計意義上可以說兼備了標稱法和最大最小法的優點.但問題在于，對于實際工業過程，現場的變化十分復雜，模型的不確定性很難用一成不變的規律來描述.例如在催化裂化裝置中，原料油成分的改變、催化劑的改變、工作點的轉移、產品結構的改變等因素，都可以成為控制對象模型參數攝動的原因.因而如果對象模型的攝動因素不用某種在線機制來不斷地更新和調整，那么，得到的所謂魯棒優化控制器仍然經不起現場實際實用考驗的。

基于多模型加權優化的RDMC算法，在借鑒了上述概率魯棒優化思想的基礎上，將經典DMC中的模型預測和滾動優化分別擴展為多模型預測和多模型加權優化，并且加入了多模型優化加權因子的在線自校正機制.在多個預測模型的基礎上，通過大小不同的加權因子對不同的預測模型給予不同程度的重視，以反映各模型對未來時刻輸出的可能貢獻。

（一）多模型預測

對于維線性多變量系統的預測輸出可通過單變量預測的輸出疊加而成.假設不確定性系統是由L個確定性系統的某種組合. 那么，在第j個輸入分量的一步增量作用下，第i個輸出分量在第l個基模型下的N步預測輸出為

， （1）

其中： ；

；

.

這里表示輸出對輸入的階躍響應系數矢量， 和分別為k時刻控制作用不變和變化時的未來預測輸出矢量，N為模型長度。

同樣，我們可以得到連續M個輸入增量作用下，L個基模型的P步預測輸出.下面用向量形式給出預測模型的表達式：

， （2）

其中：

以上各表達式中，，且P ≤ N.

（二）多模型加權滾動優化

多變量情形下的多模型加權滾動優化性能指標可用下式表示：

； （3）

其中，， ，為模型優化加權系數，先假定它是事先根據經驗確定的，后面我們會看到，優化加權系數可以通過自校正算法在線獲得.上式中的其余向量和矩陣為：

不難發現，誤差權陣Q和控制權陣R相對各基模型是不變的，這是因為Q和R代表的意義是未來各個時刻輸出偏差和控制增量的加權，僅與時刻有關，故沒必要將其設為依基模型而變的.各基模型的重要性體現在模型的優化加權系數的權值中。

在不考慮約束的情況下，由預測模型（2）可求出使性能指標（3）最優的未來M個控制增量構成的向量為：

； （4）

其中，.盡管每次優化時都計算出未來M個控制增量，但僅執行當前時刻的控制增量：

， （5）

其中， .

（三）多模型反饋校正

反饋校正是根據上一時刻對當前時刻的預測輸出與當前時刻的采樣值之差經過加權來求出的，由于采用了多模型結構，所以共有L組預測輸出，同樣就會有L組誤差向量：

. （6）

有了誤差向量，就可以對未來的預測初始值做出校正：

， （7）

其中，H為校正矩陣，通常取為塊對角陣， S為p個移位矩陣構成的塊對角矩陣，即

；；

這里，；.

（四）優化加權因子在線自校正

首先，我們要在對各個基模型過去若干個周期的預測誤差進行分析的基礎上，給出MIMO情形下各基模型與實際對象之間的距離的定義。

定義 對于維離散時間系統，假設描述它的模型為，那么，在時刻k，模型與實際對象之間在過去共T個間隔上的距離可以用下式來表示

. （8）

利用上面的定義， 我們可以得到，在多模型框架下，每個時刻RDMC中每個基模型與實際對象之間的距離：

； （9）

其中，.在上述定義的基礎上，可以得到如下形式的優化加權因子校正表達式：

. （10）

二、Wood/Berry精餾塔仿真實例

在石化工業裝置中，精餾過程的應用是極為廣泛的.下面的仿真研究中，我們采用一個被文獻中廣泛采用的試驗性的乙醇/水系統精餾塔模型來作研究，精餾塔模型為：

.

模型中各變量的物理意義如表1所示，時間單位為分鐘.采樣周期取1分鐘.

表1 Wood/Berry 乙醇/水雙組分精餾塔變量總匯

Table 1 The Wood/Gerry ethanol/water two-element distillation column variables

在真實系統中，模型不可能絕對精確，假設幾種失配情形下輸入輸出傳遞函數陣分別為：

，，

，.

設實際對象的輸入輸出傳遞函數陣為，假設不考慮進料的干擾，即認為進料量固定在2.45 lb/min 不變，控制要求為（1） 塔頂成分由穩態值96.25%上升到新的穩態值96.85%；（2） 塔底成分由穩態值0.5%降到新的穩態值0.4%.

我們用基于多模型加權優化的RDMC對Wood/Berry 精餾塔進行控制，各控制參數為： ，，，

L=4， N=60， P=30， M=10.

我們共做了6組仿實驗來比較各種控制算法的性能. 仿真結果如圖1和圖2所示，圖中各曲線所對應的控制算法如下：（1）實線， 經過自校正的RDMC；（2）短劃線， 平均取值（各取0.25）的RDMC；（3）點線， 標稱模型采用G1（s）的DMC；（4）點-短劃線， 標稱模型采用G2（s）的DMC；（5）標稱模型采用G3（s）的DMC；（6）雙點-長劃線， 標稱模型采用G4（s）的DMC.

經過比較之后可以發現， 在各種模型失配情形下， 經過自校正的RDMC具有最佳的控制效果.在多次的實驗之中， 我們還發現， 無論的初始值如何選取， 在沒有外來強制干擾的情形下， 校正后的值總是趨近于某組基本恒定的數值， 這正說明本文提出的自校正算法的數值穩定性， 同時也表明，前面關于模型與對象之間的距離的定義，能夠基本真實地反映各基模型同真實對象的之間的“差距”或失配程度。

三、結論

本文針對多模型不確定性對象，提出并詳細描述了一種改進的魯棒DMC算法——基于多模型加權優化的RDMC.并將該算法應用在Wood/Berry乙醇—水雙組分精餾塔模型做了詳細的仿真研究.仿真結果表明，基于多模型加權優化的RDMC，較好地解決了多模型失配模式下DMC算法的性能魯棒性問題，這一魯棒DMC控制算法特別適合于解決石化裝置中那些因切換工作點，調整產品結構導致對象特性遷移產生模型失配而導致的控制品質下降問題。

參考文獻

[1] Cutler C R， Ramaker B L. Dynamic Matrix Control -- A Computer Control Algorithm. AICHE National Mtg.， Houston， Texas， 1979， WP5-B.

[2] 竺建敏. 高級過程控制的閉環實時優化. 石油煉制與化工， 1995， 26（7）： 42-48.

[3] 岳紅， 蔣慰孫， 顧幸生. 概率魯棒LQ優化設計. 控制與決策， 1997，12（1）：31-36.

（作者單位：1.內蒙古商貿職業學院；2.上海交通大學）

作者簡介

張淑萍（1968-），女，高級工程師。

趙桂欽（1970-），女，副教授。