數形結合在中學數學中的靈活應用

邱守臣

【摘要】 數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展中的一條主線，使數學在實踐中的應用更加廣泛和深遠.“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅使問題簡潔明快，還開拓思路，為研究和探究數學問題開辟了一條重要的途徑.

【關鍵詞】 數形結合；中學數學；教學；解題；應用

現代數學教學的主要目的和任務早已不再是簡單的知識和方法的傳授，而是通過數學教學在傳授知識與方法的同時培養學生的數學素質.而數學思想方法又是數學素質的精髓和靈魂，是數學學習的核心.因此，掌握數學的思想和方法是學好數學的必要條件，它像一把“萬能的鑰匙”，可以打開諸多問題的大門.數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素，數形結合是貫穿于數學發展中的一條主線，使數學在實踐中的應用更加廣泛和深遠.“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅使問題簡潔明快，還開拓思路，為研究和探究數學問題開辟了一條重要的途徑.

一、數形結合在教學中的應用

1.數形結合在函數教學中的應用

數形結合是中學數學思想中的重要數學思想之一，滲透于數學的

各個環節之中.在函數教學中，函數及其圖像為數形結合的教學開辟了廣闊的天地.函數的圖像是從“形”的角度反映變量之間的變化規律，利用圖像的直觀性有助于題意的理解、性質的討論、思路的探求和結果的驗證.如二次函數、指數函數和對數函數等等，根據函數圖像討論函數的性質，借助函數圖像的直觀性解決實際問題，使學生學得輕松有趣.既可以提高學生的識記能力，又可以加深對函數的圖像和性質的理解，使數與形在學生的頭腦中密切地結合起來.

2.數形結合在不等式中的應用

在不等式的教學中，可以把不等式問題轉化為函數問題來解決，利用函數的思想，應用數形結合的方法解決不等式的問題.

二、數形結合在解題中的應用

利用數形結合進行解題，不僅能將優美的解題過程形象地展現在解題者的面前，而且給解題者帶來層次分明的思維訓練而回味無窮.在教學時，要引導學生從充分利用形的直觀性來揭示數的問題的本質屬性；由形思數，利用數研究形的各種性質，尋找運動規律；數形結合，促進矛盾的順利轉化，創造條件使對立雙方達到統一.這樣有利于培養學生多角度、多方面思考的習慣，有助于訓練學生思維的靈活性、廣闊性、創造性和辯證性，提高學生解決問題的能力和創新能力.

1.由數想形，直觀顯現

某些看似簡單的數量關系的代數問題，如果能注意到它所包含的幾何意義，或者設計出一個與之相關的幾何模型，則可能找到新穎別致的解法，借助“形”使我們對問題本 身不但有直觀的分析，且能有更深刻和實質的了解.

2.形中覓數，抽象變形象

某些代數三角問題，借助于圖形性質來探求思路或作出結論，而某些幾何問題，可通過計算或數量分析的方法，能準確和深刻地表述圖形的性質，獲得問題的結論.

3.數形對照，相互滲透

由數想形、形中覓數是數形結合的兩個方面，有時又要綜合應用，既由圖形尋找出數量關系，又通過代數方法加以解決.

例 設D為△ABC邊上一點，而BD=2DC，

求證：AB2+2AC2=3AD2+6CD2.

分析 若單從幾何角度看，已知條件和論證的目標相距較遠，不易下手.如果我們建立如圖所示的直角坐標系，使數形結合，綜合應用解決.可設四點的坐標分別為A（x，y），B（-2a，0），C（a，0），D（0，0），則有：

總而言之，“數無形不直觀，形無數難如微”.數形結合是學好數學的一把鑰匙.見到數量就要考慮它的幾何意義，見到圖形就應考慮它的代數關系，運用數形結合的思想解決數學問題.因此，數形結合思想在中學數學教學中起著舉足輕重的作用.