一類極限問題簡化解法的啟示

王建輝　張平　高興花

摘 要 極限的概念是微積分中最基本的概念，微積分中的許多概念都是以極限的形式給出的。同樣，極限的運算方法也是微積分中最重要的方法之一，微積分許多定理和性質都要以極限的方法來證明，我們可以通過多種方法解決一些初等函數的極限問題，但有一些問題用常規方法解決的話，顯得比較繁瑣，學生不容易接受。筆者在教學過程中進行了一些嘗試，發現并總結了一些更適合于學生的規律和方法，下面就來探討一類極限問題的簡化解法。

關鍵詞 觀察和分析 總結和探討 事半功倍

中圖分類號：G71 文獻標識碼：A

極限的概念和方法是微積分中最基本的概念和最重要的方法之一，特別是對于一些初等函數的求極限問題，不同的函數類型有不同的方法，我們還要具體問題具體分析，針對不同的類型找出相應的方法。在求極限時我們經常會遇到這樣一種類型：

這里為常數，且a0≠0，b0≠0，m，n為正整數。對于這種類型，通常情況下我們會采用以下兩種解法：解法一是通過分子、分母同除以分子、分母的最高次冪，將無窮大量轉化為無窮小量，再根據極限的運算法則求出該函數的極限。解法二是利用導數在極限中的重要應用——羅比達法則，分子、分母分別求導，進而求出該函數的極限。

觀察例1解法不難看出，分式的分子、分母都是按降冪排列的。在解法一中，當分子、分母同時除以x3后得到了，其分子、分母從第二項起，每一項都無窮小量，從第三項起，每一項都是前一項的高階無窮小量。因此，不管是分子還是分母，其極限值取決于第一項（次數最高的項）。在解法二中，當連續三次使用羅比達法則后得到了，其分子、分母也是由原來分子、分母的第一項（次數最高的項）求導得到的。

故的值只與分子、分母的第一項有關，與后面的項無關，解法可簡化為：。

例1中分子、分母的最高次冪的次數是相等的，對于分子、分母最高次冪的次數不相等的情況又會怎樣呢？

觀察例2解法不難看出，分式的分子、分母也都是按降冪排列的。在解法一中，當分子、分母同時除以后得到了，其分子的每一項都無窮小量，從第二項起，每一項都是前一項的高階無窮小量；其分母從第二項起，每一項都無窮小量，從第三項起，每一項都是前一項的高階無窮小量。因此，不管是分子還是分母，其極限值取決于第一項（次數最高的項）。在解法二中，當連續三次使用羅比達法則后得到了，其分子是由原來分子的第一項（次數最高的項）求導得到的，其分母的值主要取決于24x，而24x也是由原來分母的第一項（次數最高的項）求導得到的。

如果分子的最高次冪次數比分母高，我們可以先取倒數，轉化成分子的最高次冪次數比分母高低的情況來解。

綜上所述，的值只與分子、分母的第一項有關，與后面的項無關，故解法可簡化為：

通過觀察與分析，總結出了對于該類型的極限的更加簡潔的求法，得出的規律更便于學生掌握。所以在學習數學時，我們要善于引導學生進行觀察和分析，勇于總結和探討，在總結中找出規律，加深對問題的理解，提高學生的分析問題、解決問題的能力。