光學諧振腔設計的特性研究

李一飛

摘 要 光束質量決定了激光的聚焦特性和傳輸特性，它與激光諧振腔內的光場模式密切相關。模式的計算對諧振腔腔型的設計具有一定的指導作用。本文結合諧振腔模式計算的特點，提出了基于傳輸矩陣方法，其主要特點是：可求解多個模式的計算，并很容易判斷諧振腔鑒別模式的能力。

關鍵詞 激光諧振腔 傳輸矩陣 設計

中圖分類號：O43 文獻標識碼：A

1構造光學諧振腔的模型

不穩腔常選作高功率激光器的腔型，這時激活介質的增益飽和以及增益的非均勻等會引起腔內折射率的非均勻性。此外，對一些高功率氣體激光器，腔內工作氣體介質需作超音速流動，因沖擊波作用也會使腔內折射率出現不均勻。因此不能再作為無源腔來處理。有源腔的實際物理圖像十分復雜，作為近似可以把激活介質視為一個薄片，并且緊貼其中一個反射鏡，或者一分為二，緊貼在兩個反射鏡的內側，稱為片狀增益模型。如下圖所示，以片狀增益模型把光腔內的介質增益等效于緊貼在一腔鏡內側的片狀增益透鏡，設鏡Ⅰ上的光場分布為，經過腔內一次渡越，得到鏡Ⅱ上的光場分布，是光經過增益透鏡后的光場分布。

片狀增益模型

2構造數值矩陣

根據菲涅耳-基爾霍夫衍射積分方程，將腔鏡Ⅰ按照一定的順序劃分為單元 1～S，于是，腔鏡Ⅰ上的復振幅分布函數U1 （x，y）可被離散化為復振幅分布向量 U1={U1[1]， U1[2]， …U1[S]}，同理，鏡Ⅱ上的復振幅分布可用矩陣 U2 描述。考察鏡Ⅰ上第m個單元U1[m]（中心位置[Xm，Ym]）對U2[n]的作用，當劃分數S足夠大時，可認為Sm上復振幅均勻分布，即與ds的積分變量 x、y（以直角坐標為例）無關，得：U12[m，n]=U1[m]譇12[m，n]，其中，.當m 取值 1～S，n 取值 1～h，疊加得到：這個式子表現了腔內光場的一次渡越，可簡記為：U2=A12譛1.式中A12[m，n]的物理意義為：腔鏡Ⅰ上單元 m 上輸入復振幅為 1 時對腔鏡Ⅱ上單元 n 的作用。同理可得 A21，它描述從鏡Ⅱ返回到鏡Ⅰ。則腔內一次往返可表示為：U'1=A21譇12譛1=A譛1，根據自再現原理有U1'=%＼U1=AU1（h議）. 描述此諧振腔各階模式的本征值%＼就是A的特征值。可見矩陣 A 包含了對腔內模式和光束特性的描述，可稱 A 為傳輸矩陣。求解光腔模式的過程就可歸結為：劃分腔鏡——計算傳輸矩陣——求解特征值和特征向量——模擬腔內模式分布。對諧振腔模式的求解，主要轉化為對傳輸矩陣A的求解。

3光學諧振腔的設計

從幾何光學近似出發，采用光線坐標轉換矩陣表述，可以最簡便的方式討論各種共振腔的穩定條件和光束在腔內往返的空間（截面和發散角）行為特性。設腔曲率半徑為R1和R2的兩塊凹面鏡組成，腔長為任意值L，兩鏡面球心C1和C2的連線構成系統光軸。考慮由鏡M2上任意一點P0發出的任意一條光線，它在P0點的坐標可用兩個參量表征：一個是P0點至光軸的距離%j0，另一個是光線與光軸平行線的夾角%a0。設該光線傳輸到鏡上M1與鏡面交于P1，則相對于P1點而言的坐標參量分別轉換為%j'=%j0+L%a0和%a'=%a0。由上述關系式出發，我們考查了光線在腔內完成了一次往返過程，設往返一次后光線的坐標矩陣為A1，則A1的表示式為，式中T為任意光線在腔內完成了往返一周時的坐標變換矩陣，R為光線在P點反射時的坐標反射矩陣。重復以上的分析，可進一步把光線在腔內經歷次往返后的坐標參量%jn、%an與初始坐標參量之間的關系一矩陣形式表示為按照矩陣的數學理論， ，式中三角函數的宗量定義為%o=arccos（a+d），這里（a+d）為轉換矩陣的兩對角矩陣元之和。由表示式可看出，它們均與光線的初始坐標參量的選擇無關，因此可用來描述腔內任意光線的往返行為。共振腔的穩定條件，在物理上意味著任意光線在腔內往返任意多次數后都不會橫向偏折出腔外；在數學上，這意味著任意光線在腔內往返任意多次數后，光線在鏡面上的坐標參量恒保持為有限的并且不全為零的數值。這要求相當于.這是共振腔穩定條件的基本表示式。再將a、d表示式代入得.當這個條件得到滿足時，對一般穩定腔而言，在腔的菲涅爾數不十分小和所討論的橫模序數不十分高的兩個前提下，應用衍射理論可給出近似解析解的結果。