談談如何選擇幾何解題的思維著手點

藍裕鵬

【摘要】 如何快速解證幾何題，是眾多中學生心中的一道結，如何解開這道結，關鍵是在平時教學中培養學生尋找幾何解題的思維著手點，本文結合實際例子，從題目條件結論、幾何知識方法、圖形處理等三大方面闡述了找幾何解題的思維著手點。

【關鍵詞】 幾何 思維 著手點 選擇 培養 方法、圖形

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）02-086-02

“幾何題難解”，這是眾多初中學生的共同心聲，從而對學習幾何知識產生畏懼情緒，甚至采取放棄的態度。為什么幾何題難解，關鍵是學生在解題時找不到或者找錯了思維著手點，邏輯推理就難以展開，似盲人騎瞎馬，亂碰亂闖，解題就會受阻，感覺無從下手。因此，解題時，首要的是選擇合理的思維著手點，才能有效地組織好邏輯推理活動，順利完成由條件到目標的解證、計算過程。本文結合具體實例，從幾何知識方法、題目條件結論、圖形等方面談談幾何解題中思維著手點選擇的常用方法，僅供參考。

一、注重從幾何知識及方法方面培養學生尋找幾何解題的思維著手點

1.從已知命題的結論和解法選擇思維著手點

許多幾何問題是從已知命題拓展出來的，如果把千變萬化的題目歸結到已知命題的結論和解法，思維就會像打開閘門的水流一樣流暢。

例1如圖1，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F是AD上的點，且FD=5AF，連接BF并延長交AC于E，求證：EC=10AE。

分析題目AD中是中線，而BE是把AD分成1：5的一條直線，若囿于此比值，便給思維帶來很大束縛。如果索性把BE當作一條動線，它可以在形內，也可以在形外，當然也包括是AC邊上的中線，就不難想到三角形的重心把中線分成1：2的兩條線段的結論和證法，必定想到作CF′∥BF交FD的延長線于F′，利用相似三角形性質不難證得結果，可見已知命題的的結論和證法對思維著手點的選擇是何等的重要。

圖1 圖2

2.抓等量關系選擇思維著手點

幾何習題中相當一部分可以轉化為幾何方程問題。列方程求值的思路就是從尋找等量或不變量開始的，如三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和；同底等高的兩個三角形的面積相等；平行線所截線段成比例；圓的切割線定理，等等。列方程解題時，教師要善于根據這些基本關系及這些關系的變形，挖掘出撲朔迷離的題設條件和所求各數量之間的等量關系，由此找到思維起點。

例2如圖2，延長圓的內接四邊形ABCD的兩組對邊，它們分別相交于M、N，求證：所成的∠AMD和∠ANB的平分線互相垂直。

分析觀察圖形，HM是∠AMD的角平分線，如果能證∠MGE=∠MEG，則就證得MH⊥EN，考慮到∠MGE是△GNC的外角，∠MEG是△EAN的外角，∠ANE=∠GNC，這樣就可利用①三角形的一個外角等于不相鄰的兩內角的和，②圓的內接四邊形任一外角等于它相鄰的對角，由這兩項等量關系，列出三個方程，而順利找到MH⊥EN的充分條件。

3.從觀察和實驗中尋找思維著手點

觀察和實驗是研究數學的最基本也是十分重要的方法，數學家歐拉曾說過：“數學這門科學，需要觀察，也需要實驗。”當我們遇到難以下手的數學問題時，不妨冷靜地用觀察和實驗作為思維起點，或許在山窮水盡之際能迅速達到柳暗花明之境界。

例3如圖3，已知D是△ABC中AC邊的中點，E、F是BC邊的三等分點，BD分別與AE、AF交于M、N，求BM：MN：ND之值。

分析：解這道題，即使先作出了DF輔助線，也容易被重疊的中位線和眾多的相似三角形干擾，不容易簡捷的得出待求值，但如果利用三角板的刻度仔細地測量，會發現BM：MN：ND=5：3：2，再作幾個較大的準確圖形，也會得到同樣的結果，即使需要證明，也因為找到了答案，問題求解會容易得多。

二、從題目條件、結論等方面培養學生尋找幾何解題的思維著手點

4.從題目的條件中尋找思維著手點

幾何證明題都由條件和結論兩部分組成，題設條件決定了結論的存在，完成了幾何證明好比在題設條件和結論之間搭起了一座橋梁，使思維從橋的這端順利通往另一端，思維著手點又好比是勘探由水文、地質、氣象等條件決定的橋址，所以幾何解題的條件中一般都蘊伏著思維的著手點。例如，凡是兩圓相切的，蘊伏著要補作公切線，相交兩圓要補作公共弦，相似三角形要找等比線段和相等對應角等，不勝枚舉。

例4如圖，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，又已知AD=2，AE=1，求CD的長

分析由題設條件，∠B=90°，AC與圓相切于D點，已知長度的線段AD和AE既是Rt△ABC中斜邊和一條直角邊的一部分，也是圓O的切割線的一部分，所以條件中就蘊含了連接OD構造兩個相似直角三角形的思維著手點，一旦連接OD，解題的思路便會順利展開。

5.分析問題目標的特征，選擇思維著手點

目標是問題要求的結果，特別是幾何證明題，定向證明的結果是邏輯推理的終點，也是思維的著手點，它控制著我們解題的整個過程。我們在解證邏輯推理活動中所做的每一步的價值，都是以能否達到目標為標準去評價的，解題時要善于抓住目標特征，并以此為突破口建立思維著手點，如目標是線段相等的，可構造全等三角形、等腰三角形、同圓（等圓）中等弧、等弦心距、等圓周角等；目標是線段的積相等的可變形成等比線段，再找相似三角形、角平分線，等等。

例5如圖5，△ABC中有正方形DEFG，點D、G分別在AB、AC上，EF在斜邊BC上，求證：EF2=BE·FC

分析題目本身已經給出了證明的目標，考察這一目標的特征不難發現：若結論成立，那么BE/EF=EF/EC，DE=EF=FG，于是就不難想到Rt△BED∽Rt△GFC，所以，只要以本題目標特征為思維著手點，問題便很快得到證明。

三、從圖形方面培養學生尋找幾何解題的思維著手點

6、構建幾何模型尋找思維著手點。構建幾何模型，就是在題設條件下，突出決定研究對象的本質因素，忽略非本質因素，對一個文字幾何題建立一個理想化的圖形，并以此來分析問題解決問題。模型的建立，能使問題從復雜變得簡單，使抽象變得具體，模型的建立過程離不開思維，沒有圖示的幾何題的解證思維著手點就應該建立在構建模型上。

例6已知梯形中位線長16cm，梯形的一條對角線把中位線分成線段的差是4cm，求這個梯形的上、下底的長。

分析因為問題沒有圖示，給思維帶來一定的困難。構建一個合理的模型，就會給思維以正確導向。

1.作中位線EF，將它分成4等份，每等份代表4cm.

2.作過第二等份中點G的線段BD，使BG=GD。

3.分別過B、D作直線BA和DC，使它們都平行于EF，連接DF和BE并延長交兩平行線于A、C，得到梯形ABCD（圖6）。

因為構建圖形的過程是一個邏輯推理過程，所以作出了圖形，也就找到了解題的思維著手點。

7.從圖形的特殊位置選擇思維著手點

幾何題中求定值的問題，總有一個點（或線、形）運動變化的過程，在其運動變化過程中總有一些特殊的位置，由于它的特殊性，但又帶有普遍性，所以可以給我們認識問題提供了一種思維的途徑。

例7如圖7，已知為△ABC等邊三角形，P為BC邊上一點，過P點作BC的垂線，交另兩邊（或延長線）于E、F，求證：PE+PF為定值。

分析由于題目中待求的定值是與邊長有關，擬還與它的高有關沒有直接給出，所以本題具有一定難度。但由于P是BC邊上的任一點，那么我們可以考察P為端點B及P為BC中點的兩種特殊情況，如果過B點作BC的垂線，只與一邊的延長線相交，則垂線的長顯然是BC邊上高的二倍；如從BC中點做垂線，結果依然，定值已定，解證的思路便暢通。

8.還原問題的圖形，選擇思維著手點

思維著手點的選擇是建立在分析的基礎上的，當分析幾何問題的終態圖形發生障礙時，不妨利用恰當的方式還原問題的初態情景——圖形，這一分析過程能使我們茅塞頓開，從中找到思維著手點，我們在計算圓錐體的側面積時，就是利用這種方法把終態立體圖形還原成初態的平面扇形，使問題從復雜變得簡單的。

選擇思維著手點的方法除上面談到的八種外，還有通過合理的假設、圖形等效轉化等方法，由于各種問題的千差萬別，因此，解題思維著手點的選擇就沒有一個固定的模式，即使同一問題，也存在幾種思維方法，學生必須結合題目、自身掌握的幾何知識作出靈活選擇，但無論通過哪種思維方法獲得解題途徑，思維著手點的選擇都很重要，選擇不同的思維著手點，解題過程的復雜程度和解題速度不一樣，俗話說：“良好的開端是成功的一半”，只有選擇好的思維著手點，解題才有可能獲得快速成功。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 課本、參考資料的題目.