基于Bayes統(tǒng)計(jì)推斷的波動(dòng)性模型

李阿勇

[摘 要] 本文在貝葉斯理論框架下對(duì)常見(jiàn)的兩類模型：GARCH模型和SV模型進(jìn)行了比較研究，同時(shí)基于上證綜指和深證成指數(shù)據(jù)對(duì)兩類模型進(jìn)行了實(shí)證研究。無(wú)論在理論上還是實(shí)證分析，SV模型對(duì)資產(chǎn)收益波動(dòng)性的刻畫(huà)能力要強(qiáng)于GARCH模型。

[關(guān)鍵詞] 貝葉斯； 隨機(jī)波動(dòng)； GARCH

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 06. 044

[中圖分類號(hào)] F832.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1673 - 0194（2014）06- 0073- 03

0 引 言

波動(dòng)性模型通常用來(lái)描述資產(chǎn)收益率的條件方差，目前對(duì)波動(dòng)性建模可以分為兩類： ① ARCH模型及其擴(kuò)展形式，這類模型采用確定性函數(shù)描述資產(chǎn)收益率的條件方差； ② SV模型及其擴(kuò)展形式，這類模型采用隨機(jī)方程來(lái)描述資產(chǎn)收益率的條件方差。Engle在對(duì)英國(guó)的經(jīng)濟(jì)通貨膨脹進(jìn)行研究的過(guò)程中提出了ARCH模型，Engle假設(shè)資產(chǎn)收益率的條件方差是時(shí)變的，同時(shí)可以用誤差滯后項(xiàng)的平方進(jìn)行解釋。Bollerslev在Engle研究的基礎(chǔ)上，將資產(chǎn)收益率的條件方差同時(shí)可以由其滯后項(xiàng)作為解釋變量納入模型中，提出了GARCH模型。GARCH模型是對(duì)ARCH模型的重要擴(kuò)展，在研究金融和資本市場(chǎng)時(shí)間序列的特征中得到了廣泛運(yùn)用。GARCH模型的擴(kuò)展形式有很多，Bollerslev、Chou、Kroner等學(xué)者都曾對(duì)GARCH模型進(jìn)行過(guò)詳細(xì)的論述，Li等學(xué)者也對(duì)GARCH模型族進(jìn)行過(guò)綜述。SV模型最早由Taylor等學(xué)者提出，Taylor假設(shè)收益率的擾動(dòng)項(xiàng)是不可觀測(cè)的，可以用一個(gè)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行刻畫(huà)，這個(gè)假設(shè)決定了隨機(jī)波動(dòng)模型是一個(gè)具有動(dòng)態(tài)波動(dòng)特性的模型。Clark、Harvey、Polson、Rossi等學(xué)者在早期均對(duì)隨機(jī)波動(dòng)模型進(jìn)行過(guò)研究，Ghysels等學(xué)者對(duì)SV模型族進(jìn)行了詳細(xì)的論述。本文選取應(yīng)用最廣泛的GARCH - N，SV - N兩個(gè)模型進(jìn)行建模，統(tǒng)一采用基于Gibbs抽樣技術(shù)的MCMC方法對(duì)這兩個(gè)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并利用中國(guó)股市數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，分析這些模型對(duì)我國(guó)股票市場(chǎng)的刻畫(huà)能力。

1 GARCH模型及其貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

ARCH形式比較簡(jiǎn)單，但其在實(shí)際使用過(guò)程中往往需要用很高的階，在應(yīng)用時(shí)受到較大的限制。Bollerslev提出了廣義ARCH模型（GARCH模型），解決了ARCH模型參數(shù)過(guò)多的缺點(diǎn)。GARCH模型同時(shí)把均值修正后資產(chǎn)收益率的過(guò)去值和條件方差的過(guò)去值作為條件方差的解釋標(biāo)量，是對(duì)ARCH模型的重要擴(kuò)展，在研究金融和資本市場(chǎng)時(shí)間序列的特征中得到了廣泛運(yùn)用。GARCH模型的具體形式如下：

at = σtεt，εt ～ i.i.dN（0，1） （1）

σ2t = α0 + ■αia2t - i + ■βj σ2t - j （2）

式中，p ≥ 0，q ≥ 0，α0 > 0，αi ≥ 0，βj ≥ 0。

at為時(shí)間t的均值修正收益率，σ2t為條件方差，εt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，p ≥ 0，q ≥ 0，α0 > 0，αi ≥ 0，βj ≥ 0。這個(gè)模型被稱為GARCH - N模型。

2 SV模型及其貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

SV模型最早由Taylor等學(xué)者提出，Taylor假設(shè)收益率的擾動(dòng)項(xiàng)是不可觀測(cè)的，可以用一個(gè)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行刻畫(huà)，這個(gè)假設(shè)決定了隨機(jī)波動(dòng)模型是一個(gè)具有動(dòng)態(tài)波動(dòng)特性的模型。SV模型具體形式如下：

at = σtεt，εt ～ i.i.dN（0，1） （3）

lnσ2t = α0 + βlnσ2t - 1 + ηt，ηt ～ i.i.dN（0，σ2η） （4）

式中，at表示消去均值后第t期的收益。

3 實(shí)證研究

為了分析GARCH模型和SV模型對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)率的刻畫(huà)能力，本文選取上證綜指和深圳成指來(lái)對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行實(shí)證研究。我國(guó)股票市場(chǎng)與1996年12月16日起實(shí)行了漲跌停板限價(jià)交易制度，為了保證數(shù)據(jù)的一致性，本文樣本數(shù)據(jù)選擇1997年1月2日至2013年3月1日，共3 908天的日線數(shù)據(jù)，同時(shí)考察日收益率，以每日收盤(pán)價(jià)為基準(zhǔn)。本文采用連續(xù)復(fù)利計(jì)算收益率，即rt = ln（St） - ln（St - 1），St為第t日的收盤(pán)價(jià)，rt為第t日收益率。

表1為上證綜指收益率與深證成指收益率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表中可以看出上證綜指收益率還是深證成指收益率的峰度分別為7.329 8、6.439 7，遠(yuǎn)大于正態(tài)分布的峰度3，說(shuō)明收益率序列分布呈現(xiàn)明顯尖峰肥尾特征。表中J - B為Jarque - Bera檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用以檢驗(yàn)序列是否服從正態(tài)分布，H = 1則拒絕序列服從正態(tài)分布的假設(shè)，J - B統(tǒng)計(jì)量也表明收益率分布并非正態(tài)分布。LM（q）為Engle提出的拉格朗日乘子（LM）q階檢驗(yàn)數(shù)，H = 1則拒絕波動(dòng)率自相關(guān)系數(shù)全為0的假設(shè)，說(shuō)明序列有ARCH效應(yīng)。小括號(hào)內(nèi)的數(shù)值為檢驗(yàn)p值。LM檢驗(yàn)表明無(wú)論之后階數(shù)取10或20，LM統(tǒng)計(jì)量都較大，波動(dòng)率自相關(guān)系數(shù)全為0的假設(shè)被拒絕，說(shuō)明模型具有明顯的ARCH效應(yīng)，即明顯的波動(dòng)聚集性。

為了進(jìn)一步對(duì)收益率的情況進(jìn)行分析，本文對(duì)上證綜指收益率序列和深證成指收益率序列的平穩(wěn)性進(jìn)行研究，分別對(duì)兩組收益率序列作ADF單位根檢驗(yàn)，滯后階數(shù)為5。在顯著性水平1%下，上證綜指收益率的ADF統(tǒng)計(jì)量為 -25.353 6，遠(yuǎn)小于臨界值 -2.863 6，接受上證綜指收益率序列為隨機(jī)游走的概率為0.001，因此拒絕上證綜指收益率為隨機(jī)游走的假設(shè)，即該收益率序列是平穩(wěn)的。深證成指收益率的ADF統(tǒng)計(jì)量為 -25.115 9，也遠(yuǎn)小于臨界值，說(shuō)明深證成指收益率也是平穩(wěn)的。

目前對(duì)SV模型最有效的估計(jì)方法是基于MCMC技術(shù)的貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷方法，MCMC方法最重要的軟件包是BUGS和WinBUGS。BUGS是Bayesian inference using gibbs sampling的縮寫(xiě)，最初由英國(guó)劍橋大學(xué)生物統(tǒng)計(jì)研究所開(kāi)發(fā)，是目前進(jìn)行MCMC計(jì)算最方便的軟件。WinBUGS是BUGS的Windows版本，可以免費(fèi)使用，本文運(yùn)用WinBUGS軟件完成GARCH模型和SV模型的參數(shù)估計(jì)工作。對(duì)兩個(gè)模型模擬30 000次，首先對(duì)模型的收斂性進(jìn)行判別。

圖1為樣本迭代軌跡歷史，由圖1可以看出迭代歷史基本趨于穩(wěn)定，說(shuō)明迭代過(guò)程是收斂的，從自相關(guān)函數(shù)圖也可對(duì)收斂性進(jìn)行判斷。由自相關(guān)函數(shù)圖可以看出，模型中各參數(shù)的自相關(guān)函數(shù)很快接近于0，說(shuō)明迭代過(guò)程已經(jīng)收斂。

得到模型的各參數(shù)估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表2。

以2013年3月1日至2013年4月1日共21個(gè)交易日的上證綜指和深證成指日收益數(shù)據(jù)為樣本外數(shù)據(jù)對(duì)兩類模型的樣本外預(yù)測(cè)能力進(jìn)行評(píng)價(jià)。

評(píng)價(jià)指標(biāo)選取均方根誤差統(tǒng)計(jì)量（RMSE）和絕對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)量（MAE），兩個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)如下：

RMSE = ■ （5）

MAE = ■| ri - ■i | （6）

式中，ri為樣本點(diǎn)i的實(shí)際收益率，■i為預(yù)測(cè)收益率。

由RMSE和MAE的表達(dá)式可以看出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)值越小說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果越精確。通過(guò)前文所述的模型進(jìn)行樣本外數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果。

由表可以看出無(wú)論是RMSE指標(biāo)還是MAE指標(biāo)，SV模型的預(yù)測(cè)效果均好于GARCH模型。

4 結(jié) 論

本章對(duì)常見(jiàn)的兩類模型：GARCH模型和SV模型進(jìn)行了比較研究，同時(shí)基于上證綜指和深證成指數(shù)據(jù)對(duì)兩類模型進(jìn)行了實(shí)證研究。無(wú)論在理論上還是實(shí)證分析都可以看出SV模型對(duì)資產(chǎn)收益波動(dòng)性的刻畫(huà)能力要強(qiáng)于GARCH模型。上海股市收益率與深圳股市收益率存在明顯的波動(dòng)聚集性和尖峰厚尾性。GARCH模型和SV模型對(duì)這兩種性質(zhì)均具有較強(qiáng)的刻畫(huà)能力，而且SV模型對(duì)兩個(gè)股票市場(chǎng)波動(dòng)性的描述更精確。

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