中學數學開放性問題的研究

鄭六琴

摘要：開放性問題是培養學生創新意識，提高學生獨立解決問題能力的極好素材。本文研究了數學開放性問題的含義、常見類型及特點，給出了解決中學數學開放性問題的思維與策略。

關鍵詞：中學數學；開放性問題；思維；策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）08-0161

一、研究開放性問題的意義

傳統教育觀念下的數學學習質量評價，雖然有利于形成思維上的定勢或求同思維的培養，但卻忽視了求異思維和發散思維能力的培養，不利于培養學生的創新意識和創新能力。而開放性試題，則要求學生通過觀察、比較、分析、綜合甚至猜想、展開發散性思維，充分運用已學知識和數學方法，經過歸納、類比、模擬、聯想等推理的手段，最后得出正確的結論。學生解題過程突出了思維的多樣性和靈活性。具體表現為：1. 有利于培養學生良好的思維品質，良好的表達能力、批判、評價能力，提高學生解決問題的能力。2. 有利于調動學生（特別是居于中流或學習上后進的學生）的學習積極性。3. 有利于提高學生對所學到的數學知識和技能的應用能力。4. 有利于學生體驗成功、樹立自信心、產生學習的興趣。

二、開放性問題的含義

數學開放性問題在開放時代應運而生。如：給定集合{3，21，2，10}及四種運算符號“+”、“-”、“×”、“÷”，使用上述集合中的元素及四種運算符號組成答案為17的算式。當然，要解決此題，要求思維靈活且具有敏銳的觀察力。較簡單，大家很容易的出這樣兩種結論——21-10+3×2=17和10+21÷3=17。然而，何謂開放性問題？至今數學界并未形成公認的界定，通常理解是指“條件”、“解法”、“答案”具有多樣性和不確定性的問題。而從查閱的文獻資料看，大約有以下三類：1. 答案不確定的數學問題稱為數學開放性問題。2. 條件不完備、結論不確定的數學問題稱為開放性問題。3. 數學開放性問題是指條件開放（條件在不斷變化）、結論開放（多結論或無確定結論）、策略開放（可以采用多種方法和途徑去解決）的問題。

綜上所述，開放性問題較為準確、完備的界定應是：一個習題系統R通常包括四要素：已知條件 r，解題依據o，解題方法p，結論z，即R={r，o，p，z}。四要素齊備的題，為“封閉性問題”；缺少o或p的題，為“班封閉性題”；缺少r或z的題，為“開放性問題”。

三、開放性問題的常見類型

1. 按命題要素的發展傾向分類有：（1）開放型。（2）方法開放型。（3）結論開放型。（4）綜合開放型。

2. 按解題目標的操作模式分類有：（1）量化設計型。（2）分類討論型。（3）規律探索型。（4）數學建模型。（5）問題探究型。（6）情景探究型。

3. 按學習過程的訓練價值分類有：（1）信息遷移型。（2）知識鞏固型。（3）知識發散型。

4. 按問題答案的結構類型分類有：（1）有限可列型。例如：將100分成若干個連續自然數的和。（2）有限混純型。例如：平面上滿足什麼條件的四個點共圓？（3）無限離散型。例如：P、Q、R、S為整數，且（P+Q）（R+S）=15，問P、Q、R、S可能取哪些值？（4）無限連續型。例如：請你寫出一組四個連續整數，使其和大于40。

5. 依據數學開放性問題的開放度分為：（1）弱開放型：即答案只有兩種，非此即彼類型的題。例如：小紅同學給出了這樣一道數學題：“如果在四邊形ABCD中，AB=CD，那麼四邊形ABCD是平行四邊形”，若你認為這個命題的結論成立，請予以證明；若這個命題的結論不一定成立，請舉出反例。（2）中開放型：即答案情況有多種的，但總數是確定的。例如：ax2+bx+c=0（0

四、開放性問題的特點

封閉性問題正是圍繞這各種固定題型、程序化的解題策略、預定的答案而進行的，而開放性問題恰恰與此相反，其特點表現為

1. 問題的條件、結論開放

開放性問題，有的條件開放，有的結論開放，有的條件與結論同時開放。對于同一問題，可以有不同的結果。

2. 分析的思路開放

分析問題時可以從不同的思維角度去考慮，這就為學生的思維空間留下了充分的余地。

3. 解題的方法開放

解決問題時，有不同的方法與技巧，沒有固定的解題模式與程序。

4. 問題內容的新穎性

這類問題背景新穎，解法靈活，結合性強，無現成模式可用。

5. 問題形式多樣性

這類問題有的追溯多種條件，有的探究多種結論，有的尋求多種解法；有的由變求不變、或由變求變，有的以動求靜、或以動帶動；很能體現現代數學氣息。

6. 問題動能的創造性

這類問題有時只給出一種情景，題目的條件和結論要求解題者在情景中自行尋找和設定，解題的模式和方法也是多種多樣的，給解題者發揮創新精神、培養創新能力提供了良好的契機。

五、解決數學開放性問題的思維與策略

由于開放性問題的結論或條件有待于探究，故思維難以定向，而結論之所以難于以制定，又往往是因為問題比較抽象，一般規律未能顯露出來。因此，這類問題具有更大的靈活性與創造力。處理開放性問題時，常用的思維對策有：

1. 尋求矛盾的策略：即假設存在，然后進行驗證

凡涉及“是否存在”、“是否有某種性質”等一類未定結論的開放性問題，我們總是先假設存在或有某種性質，然后根據已知條件、定理、有關性質等進行推理驗證；若出現矛盾，說明假設錯誤，從而得出正確結論。其實質是證明問題的某項必要條件不能達到。

2. 充要條件推導的策略

這種思路是把存在性命題當作求解題來做，其實質是由結論出發，根據題設、已知定理、性質等，利用充要條件進行推理，將滿足條件的數學對象求出來，其好處是推導過程本身就是驗證過程。

3. 特殊探路的策略

有些開放性問題只有條件而無結論，或雖有結論但結論的正確與否有待于確定。解決這類問題我們常常先研究特殊情況，即特例或簡單情形，然后進行觀察分析，就能猜想結果或發現目標，然后給出證明過程。其實質是由特殊到一般、由簡單到復雜，有拋磚引玉之效果。

4. 數形結合的策略

有些開放性題，當以純粹的數出現時，常常顯得復雜而抽象，其結論的探求也比較困難。當將其轉化為形的問題后，結論就明顯多了。有時也有相反情況，即當以純粹的圖形出現時，我們常常無從入手，若將其轉化成數的問題后就會簡化其難度與抽象性。其實質是將數與性相互融合，一方面通過數量關系的討論來研究幾何圖形的性質；另一方面是利用幾何圖形的的直觀性來揭示數量關系深刻的特性。

5. 劃分與討論策略

在隱藏著的結論里，情況比較復雜，必須進行分類辨析方能得出完美的結論。這類開放性問題含有待于討論的參數，其實質是對參數取值范圍的討論或是對參數具有的不同性質進行討論。

6. 命題轉換的策略

在解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解比較困難，須通過變形才能解決。其實質是根據知識間的相互聯系，將一些含糊的、抽象的、深奧的問題等價轉化為比較熟悉的、直觀的或已經解決的問題來解決。

（作者單位：貴州省畢節市實驗高中 551700）