無限區間上有界變差函數的學習探討

林燕

摘 要： 本文對無限區間上的有界變差函數及其性質進行學習探討，結合具體實例，將無限區間上的有界變差函數與有限區間上的有界變差函數進行比較，探究兩者之間的區別和聯系.

關鍵詞： 有界變差函數 無限區間 有限區間

實變函數理論是現代數學的重要基礎，是現代分析數學誕生的標志之一.有界變差函數是實變函數中一類重要的常用函數，具有很多好的性質，與單調增函數和不定積分有著緊密的聯系.在數學發展的歷史上，有界變差函數是在考察弧長的存在問題時首先被引入的.有界變差函數在定積分概念的推廣中起著主導作用，在許多其他數學積分問題中也有著重要的意義.

常見的實變函數和微積分學教材（見文獻[1]-[3]），大多關注有限區間上的有界變差函數，詳細探討有限區間上的有界變差函數的各種性質，但對無限區間上的有界變差函數涉及較少.在深入學習實變函數及其后續的實分析課程過程中，需要對無限區間上的有界變差函數進行研究，它具有一些與有限區間上的有界變差函數相似的性質，但兩者有一些不同之處.下面從無限區間上的有界變差函數的定義和性質出發，通過具體實例的探討，旨在幫助學生正確理解無限區間上的有界變差函數與有限區間上的有界變差函數的區別和聯系.

1.無限區間上的有界變差函數及其性質

本文中將用R表示全體實數，用C表示全體復數，用N表示全體正整數.

我們首先給出全變差函數的定義：

定義1[4]：設函數f∶R→C，令

綜上所述，無限區間上的有界變差函數與有限區間上的有界變差函數兩個概念之間既有區別又存在著聯系.教師在講授實變函數及其后續的實分析課程過程中，應該以這兩個概念的定義為出發點，深入剖析兩者的基本性質，并結合具體函數的例子，幫助學生正確理解無限區間上的有界變差函數與有限區間上的有界變差函數這兩個容易混淆的概念.

參考文獻：

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數與泛函分析基礎（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]周民強.實變函數論（第一版）[M].北京：北京大學出版社，2001.

[3]菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第三卷）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]Gerald B.Folland.Real Analysis；Modern Techniques and Their Applications 2nd ed.[M].北京：世界圖書出版公司北京公司，2007.

資助項目：北京高等學校青年英才計劃項目（YETP0946）；北京市人才培養共建項目“數學系人才培養模式的改革與創新探索”；中國礦業大學（北京）2014年“大學生創新訓練計劃”項目“線性算子理論及其應用”。