不等式的證明方法與小結

陳芙蓉

摘 要 在中學數學中，不等式的證明始終為一難點。究其原因，是因為證明沒有固定程序可循，技巧多樣，方法靈活，難度較高。為此，本文通過對不等式證明方法的總結（并舉例予以說明），讓學生更好的掌握各種證明方法的實質及其適用范圍。

關鍵詞 不等式 方法 證明

不等式是數學基礎理論的一個重要組成部分，也是中學數學的一個重要課題。它揭示了現實生活中廣泛存在的量與量之間的不等關系，在現實生活和生產活動中有著重要的作用。就知識間的內在聯系而論，不等式也是進一步學習函數方程等知識必不可少的基礎，不少數學問題的解決，都將直接或間接地用到不等式的知識。本文，將就不等式學習中的難點——不等式的證明方法探討一下。

一、比較法證不等式

比較法是證明不等式的最基本最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算順序的直接運用。比較法可分為差值比較法（簡稱求差法）和商值比較法（簡稱求商法）兩種。

（1）差值比較法

差值比較法的理論依據是不等式的性質：“ ”，其一般步驟為：1）作差：察不等式左右兩邊構成的差式，將其看成一個整體；2）變形：把不等式兩邊的差進行變形。或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個的平方等等（其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段）；3）判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論。

商值比較法的理論依據是：“若”，其一般步驟為：1）作商：將左右兩邊作商；2）變形：化簡商式到最簡形式；3）判斷商與1的大小關系（就是判斷商大于1或小于1）。

二、分析法證不等式

分析法是指從需證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明這個不等式轉化為判斷這些條件是否具備的問題。其特點和思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。

用分析法證明的邏輯關系為：。書寫的模式是為了證明命題B成立，只需證明命題為真，從而有……，這只需證明為真，從而又有……，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證明模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

三、綜合法證不等式

綜合法是利用已知事實（已知條件、重要不等式或已證明的不等式）作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式。其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關系為：，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

四、反證法證不等式

有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮。即要證明不等式A > B，先假設，由題設及其它性質推出矛盾，從而肯定A > B。

五、換元法證不等式

換元法是對一些結構比較復雜，變量比較多，變量之間的關系不甚明了的不等式，這時可引人一個或幾個變量進行代換以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。

六、放縮法證不等式

放縮法是要證明不等式A < B 成立不容易，而借助一個或多個中間變量通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的依據主要有：

不等式的傳遞性；

等量加不等量為等量；

同分子（分母）異分母（分子）的兩個分式大小的比較

七、數學歸納法證不等式

用數學歸納法證不等式主要是證明一些與自然數有關的不等式。

八 利用已知不等式法證不等式

用已經成立的不等式來證明不等式，往往可以收到事半功倍的效果，在我們學習中，常用的幾個重要的不等式有Canthy 不等式，Jensen不等式，平均不等式，Bernoulli不等式等，熟悉并利用它們，在我們證明不等式的過程中是十分必要的。

以上是不等式證明中常用的幾種方法，分別予于了說明。但由于關于不等式證明的問題其題型多變、技巧性強，加上無固定的規律可循，所以在對一題的證明中，往往不是用一種方法就能解決，而是各種方法的靈活運用，因此難度較大。本文是對不等式證明方法的終向剖析，要想更好的了解不等式的證明，也需要我們將其證明方法橫向比較，較其優劣，爭取在解題中尋找較簡便的方法。

參考文獻：

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[4]雷小平.證明不等式的常用方法[J].太原科技，2002.01.

（作者單位：湖北省襄陽職業技術學院）