2008年全國高考江蘇卷物理試題さ8題的定量分析

李紅偉 姜付錦

摘要：本文著重從電工學角度分析2008年全國高考江蘇卷物理試題第8題中三個燈泡中電流的變化規律.先用定性的方法分析，接著用定量研究得到了電路中電流變化的規律，并糾正一種錯誤的認識，最后用數學軟件Maple 13對其電流規律進行了數值模擬，最終證明了此題的科學性和嚴密性.

關鍵詞：定量分析；Maple 13；數值模擬

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0103-03

數值模擬技術起源于西方發達資本主義國家，全世界主要有以下四個數學軟件運用得最多，它們分別是Mathematica（美國）、Maple（加拿大）、Matlab（美國）、Mathcad（美國）.主要是用來做工程計算，普遍應用于機器制造、建筑設計等領域.當下高中物理中有一類試題，可以用定性或半定量的方法來分析它，但是總覺得分析得不是很到位.若要定量研究則需要解高階微分方程或方程組，對一線物理老師來講有一些困難，但是我們可以用上面提到的數值模擬軟件來分析這些問題，還可以讓結果與過程可視化.

1 題目

如圖1所示的電路中，三個相同的燈泡a、b、c和電感L1、L2與直流電源連接，電感的電阻忽略不計.電鍵K從閉合狀態突然斷開時，下列判斷正確的有（）.

A.a先變亮，然后逐漸變暗

B.b先變亮.然后逐漸變暗

C.c先變亮，然后逐漸變暗

D.b、c都逐漸變暗

1.1 定性分析

設電鍵S閉合時每個燈泡流過的電流為I，則流過電感L1的電流為2I，流過電感L2的電流為I.斷開電鍵S的瞬間，通過電感上的電流不會發生突變，L1中的電流從2I減小到零，L2中的電流從I減小到零，b，c中的電流都從I減小到零，a中的電流從2I減小到零，故b，c逐漸變暗，a先亮一下后逐漸變暗，選項AD正確[1-2].

點評通電自感和斷電自感是較常見的現象，判斷在開關通、斷的極短時間內的電流的變化是難點所在.關鍵是要掌握電流變化的一般規律：電感線圈中的電流不能突變，因為自感電動勢總是在阻礙電流的變化，根據電流的變化規律，就可以順利地解決燈泡亮度變化的問題.

1.2 一種錯誤的認識

假設電鍵S閉合時每個燈泡流過的電流為I，則流過電感L1的電流為2I，流過電感L2的電流為I，也就是斷開電鍵S后兩線圈感應電流的最大值.S斷開瞬間，線圈L1、L2都產生自感電流，按照基爾霍夫定律來分析，流過a的電流最大值是5I/2，方向向上，流過b的電流最大值為I/2，方向向下，流過c的電流最大值為2I，方向向下，在此基礎上，各燈泡的電流都減弱，則結果應是：a先變亮，然后逐漸變暗；b逐漸變暗；c先變亮，然后逐漸變暗，答案為AC.文中既沒有相應的微分方程求解，也沒有認識到電感線圈中的感應電流不能突變[3]，筆者認為這種觀點是錯誤的，在下文會對其進行理論分析.

2 定量分析

設S斷開后某時刻L1中的電流為I1，L2中的電流為I2，三個燈泡的電阻均為R，電感線圈的電感分別為L1、L2，則根據基爾霍夫定律可知[4]

L1dI1dt+L2dI2dt+（I1+I2）R=0

由部分電路歐姆定律可知

L2dI2dt+RI2=R（I1-I2）

電路的初始值狀態為I1（0）=2I，I2（0）=I

2.1 利用Maple13解方程組

利用Maple13強大的符號運算能力來求解上述方程很方便，如圖2所示.

方程組的解為

I1（t）=1L1［IL2（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL1（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+I2（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L2-IL2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL1（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2-I2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e-（L2+L1+L22+L21-L1L2）RtL1L2］

I2（t）=I（L2+L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2+IL2（-L2-L1+L22+L21-L1L2）e（-L2-L1+L22+L21-L1L2）RtL1L22L22+L21-L1L2

I3（t）=I1（t）-I2（t）

2.2 數值模擬

令L1=2 H，L2=1 H，R=10 Ω，I=1 A，數值模擬如圖3所示.

由圖3可知a中的電流先變大后逐漸變小，b，c中電流逐漸變小，答案AD正確.還可以知道b中的電流比c中的大，這是因為當電流變化時c所在支路中的電感有感抗.

2.3 拓展研究

研究電鍵S閉合后的三個燈泡中電流的變化規律，設電源的電動勢為E，內阻為r，三個燈泡中的電流分別為I1、I2、I3，根據基爾霍夫定律有

E=L1d（I2+I3）dt+L2dI3dt+I3R+r（I1+I2+I3）

L2dI3dt+I3R=RI2

L1d（I1+I3）dt+L2dI3dt+I3R=RI1

電路的初始狀態為I3（0）=0，I2（0）=0，I1（0）=ER+r

令L1=L2=1H，R=r=1Ω，E=1V，利用Maple13解方程和數值模擬如圖4所示.

由圖4可知，a的電流逐漸變小，b，c的電流逐漸變大，最后三個燈泡一樣亮.還可以知道b中的電流比c中的大，這是因為當電流變化時c所在支路中的電感有感抗.

2.4 電感、電阻和電容在電路中作用

只有電阻的單棒或雙棒模型規律是以e為底的指數函數，達到穩定狀態的時間理論是無窮大，在設定比較小的數據時，物理規律很可能不自洽，所以在命題時最好用字母來表示.電磁感應電路中電阻和電感是兩種非常重要的元件，電阻的作用類似力學中摩擦力起耗散作用；電感的作用類似力學中的彈簧，起儲存或釋放能量的作用；若兩者都沒有，則題目容易出問題；若電路中只有電感，則電路中電流是簡諧振動；若是電阻和電感組合，則電路中電流是阻尼振蕩.電容器在電磁感應中的作用也類似彈簧，電容必須與電阻或電感搭配起來，否則電路不能工作，其本質類似一個質量為C（BL）2的物體與真實的物體通過輕繩連接后作用過程，電容器上的電場能類似這個物體上的動能；若電路中有電阻沒有電感，則電容器充電完成或放電完成所需時間理論上是無窮大.

3 結束語

通過對這個問題的研究不難發現，由圖3可知a中的電流先變大后逐漸變小，b，c中電流逐漸變小，最后三個燈泡一樣亮.還可以知道b中的電流比c中的大，這是因為當電流變化時c所在支路中的電感有感抗.現在高考題的趨勢是正在向大學物理題轉型，所在平時的教學中我們可以先對其進行定性分析，然后借助專業軟件對其進行數值模擬來驗證上面的定性分析，這對提高學生分析問題的能力和研究能力是很有幫助的.

參考文獻：

[1]何勇軍.例談含電感與電容類電路問題的解題策略[J].中學物理，2012（1）：58-60.

[2] 劉波.疊加原理在電磁感應中的應用舉例[J].中學物理，2012（2）：30-31.

[3] 曹軍利.一道高考題答案的商榷[J].中學物理，2014（10）：41.

[4] 張友學.對一個通電自感現象解釋的理論分析[J].中學物理，2013（8）：35-36.

［責任編輯：李璟］