分式方程的根與增根

李強

在解分式方程時通常都是先把分式方程去分母，轉化成整式方程，然后求整式方程的解，求解后還要進行驗根。那么在教學中學生經常會有這樣的疑問：解分式方程為什么必須要驗根呢？增根是如何產生的？增根是分式方程所特有的嗎？

分式方程的根與增根

能夠使分式方程成立的未知數的值叫分式方程的根；增根是在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0（根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0），那么這個根叫做原分式方程的增根。

例題1：解方程 ①

解：兩邊同乘以（x+3）（x-3），得

（x+3）（x-3）-18=3（x-3） ②

解這個方程得：x1=-3，x2=6

檢驗：當x=-3時，（x+3）（x-3）=0，所以x=-3不是原方程的解；

當x=6時，（x+3）（x-3）≠0，左邊=，右邊=，左邊=右邊。

所以：x=6是原方程的解。

說明：顯然，方程①中未知數的取值范圍是x≠3且x≠-3，而在去分母化為方程②后，此時未知數x的取值范圍擴大為全體實數，所以求得的x值恰好使最簡公分母為0，x的值就是增根。本題中方程②的解x=-3，恰好使公分母為0，所以x=-3是方程的增根，x=6是原方程的解。

增根是如何產生的

從例題1可以看出x=-3雖然是整式方程的根，但卻使得最簡公分母為0，所以不是分式方程的根，而是原分式方程的增根。也就是說，所得的整式方程與原方程已經不是同解方程了。那么，增根就是在去分母的過程中產生的。其實，去分母的依據是等式基本性質，即在等式的兩邊同時乘以一個不為0的整式，等式仍然成立，而在例題中兩邊同乘的是一個含有未知數x的整式，也就不能保證它的值一定不為0，我們去分母的時候就已經默許了條件（x+3）（x-3）≠0，才得到整式方程。即所得的整式方程與原方程已經不是同解方程，這樣便產生了增根。

例題2：使關于x的方程產生增根的a的值是多少呢？

要正確解答此題就要理解增根是如何產生的，增根是去分母后的整式方程的根，是使原分式方程分母為零的未知數的值。

解：去分母并整理，得：

（a2-2）x-4=0

因為原方程的增根為x=2，

把x=2代入（a2-2）x-4=0，

得a2=4

所以a=±2

說明：做此類題首先將分式方程轉化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數的值即為增根，最好將增根代入轉化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。其實也不僅是分式方程可以產生增根，類似的，可想到若在整式方程（x+3）=0兩邊同時乘以（x-4），得到（x+3）（x-4）=0也同樣會產生增根。由此可知，增根并不是分式方程特有的。

解分式方程如何避免增根

以例題1為例，可將原方式方程通分整理如下：

對于上式中，當（x+3）=0時，分式的分母等于0，此時，分式無意義，所以（x+3）≠0；那么可以繼續化簡為，即（x-6）=0，得x=6。也就是說，我們可以先把方程的一切非零項移到左邊，通過恒等變形將方程的左邊化成一個分式，右邊是零的形式。然后，再找出分子分母的公因式并約去，就可以得到一個新方程并且與原方程是同解方程。解新方程得到的根就是原方程的根，避免了增根的產生。

不容忽視的增根

分式方程的增根問題與一元二次方程根的幾種情況相結合會使問題更加復雜化，也使得這一類問題的答案對學生們而言更加的撲朔迷離。下面通過幾個例題解析一下與增根有關的此類問題。

例題3：當k為何值時，方程只有一個實數根，并求出此實數根。

解：原方程可化為：x2+2x-k=0

（1）要原方程只有一個實數根，只要方程x2+2x-k=0有兩個相等的實數根，且不為原方程的增根，所以由Δ=4+4k=0，得k=-1。把k=-1代入x2+2x-k=0，解之得x1=x2=-1

（2）要原方程只有一個實數根，只要方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數根且其中有一個是原方程的增根，

所以由Δ=4+4k>0，得k>-1。

又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入x2+2x-k=0，得k=0，或k=3。把k=0代人x2+2x-k=0，解之得x1=0（增根），x2=-2；把k=3代人x2+2x-k=0，解之得x1=1（增根），x2=-3。

綜上所述，原方程的根為：

（a）當k=-1時，原方程只有一個實數根x=-1；（b）當k=0時，原方程只有一個實數根x=-2；（c）當k=3時，原方程只有一個實數根x=-3。

在分式方程教學中，教師要深入鉆研教材，全面完整地分析分式方程的增根是如何產生的，并引導學生正確理解、完整掌握、準確解答分式方程的增根問題，從而真正提高學生的解題能力，提高教學效果。

（作者單位：江蘇省昆山市兵希中學）