Dirichlet函數在實變函數中的應用

張安玲

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

Dirichlet函數的一般表達式是

該函數是定義在全體實數R 上的函數，它在上任意點處極限不存在，從而在R 上處處不連續；在定義域R 上是個偶函數；在任意區間（α，β）內都不具有單調性；任何有理數r＞0都是它的周期，但Dirichlet函數沒有最小正周期；Dirichlet函數無對稱中心但有無數條對稱軸[1]。Dirichlet函數具有的這些性質使得它在教學中起到了重要的作用。

實變函數論是19世紀末、20世紀初，主要由法國數學家勒貝格(Lebesgue)創立的[2]。它是普通微積分學的繼續，其核心內容是Lebesgue測度與Lebesgue積分，Lebesgue測度與Lebesgue積分理論的產生來自于對Riemann積分的改良[2]。實變函數內容抽象、方法巧妙，許多概念、定理、結論都很難理解，而Dirichlet函數在實變函數中經常作為獨特的例子出現。通過Dirichlet函數可以加強對實變函數中某些知識點的理解。

1 簡單函數

定義：設f（x）的定義域E 可分為有限個互不相交的可測集，使f（x）在每個Ei上都等于某常數Ci，則稱f（x）為簡單函數[2]。

理解簡單函數這個概念要抓住以下幾點：

其中Ei（i=1,2,…s）是可測集，Ei∩Ej=○且E=這樣的函數f（x）為簡單函數。

有理數集Q是可測集，RQ 是可測集，Q ∩（RQ）=○且R=Q∪（RQ），當x∈Q時D（x）等于常數1；當x∈RQ 時D（x）等于常數0。所以Dirichlet函數是簡單函數。

通過Dirichlet函數這個例子，進一步加深了對“簡單函數”的理解。

2 幾乎處處成立

幾乎處處成立是實變函數中非常重要的概念，它對進一步理解幾乎處處收斂、幾乎處處連續、幾乎處處有限等概念以及葉果洛夫定理、魯津定理、里斯定理、勒貝格定理等定理有很大的作用。

定義：設π 是一個與集合E 的點x 有關的命題，如果存在E 的子集M，滿足mM=0，使得π 在EM 上恒成立，也就是說，EE［π 成立］是零測度集，則稱π 在E 上幾乎處處成立，或者說a.e.于E[2]。

從以下幾點理解幾乎處處成立這個概念：

1）M?E，mM=0；

2）π 在EM 上恒成立；

則稱π 在E 上幾乎處處成立。

D（x）=0在RQ恒成立；Q?R，且mQ=0，即使得D（x）≠0成立的集合的測度為0，所以D（x）=0 a.e.于R。

3 可測函數與連續函數的關系

可測函數與連續函數有著密切的聯系。可測集上的連續函數都是可測函數，但是可測函數不一定是連續函數[2]。如Dirichlet函數。而魯津定理揭示的是，在E 上a.e.有限的可測函數是“基本上連續”的函數[2]。

對任意有限實數a，有

4 Riemann可積與Lebesgue可積的關系

如果有界函數f（x）在閉區間［a，b］上Riemann可積，則f（x）在［a，b］上Lebesgue可積，但其逆命題不成立。即若f（x）在閉區間［a，b］上Lebesgue可積，f（x）在［a，b］上不一定Riemann可積[3]。如Dirichlet函數。

Riemann積分用“內填外包法”：將定義區間分割為小區間；然后以小區間Δi的長度為底，函數在Δi上的下確界mi為高的那些矩形內填，還以Δi的長度為底，函數在Δi上的上確界Mi為高的那些矩形外包；當把區間分得很細時，內填外包的矩形面積之差可以無限小，彼此都趨于一個定值時，函數就是Riemann可積的[2]。

Dirichlet函數不管把定義域劃分成多么小的n個區間，每個小區間里都有無理數和有理數，函數值分別取值0和1，它們彼此之差處處都是1，不會趨于相同的值，于是Dirichlet函數是Riemann不可積的[2]。

Lebesgue積分是將函數的值域分割成小區間，把函數值相差不多的那些點集放在一起，用橫放著的小矩形面積之和加以逼近[2]。

Dirichlet函數是Riemann不可積的，但它是Lebesgue可積的，這說明Lebesgue積分是比Riemann積分范圍更廣的一種積分。

5 結束語

實變函數論中概念、定理、結論很多，而且都很抽象，關系也很復雜，理解起來非常困難。在學習簡單函數、幾乎處處成立、可測函數與連續函數的關系、Riemann可積與Lebesgue可積的關系時引進Dirichlet函數，使得能輕松搞清楚一些復雜關系、深化對概念的理解，對學習實變函數起到很大的作用。

［1］李景廉.函數在實變函數中的應用［J］.佛山科學技術學院學報,1999,17(3):67-70.

［2］程其襄,張奠宙,魏國強,等.實變函數與泛函分析基礎［M］.高等教育出版,北京:2010.

［3］劉京鑫.反例在實變函數中的運用［J］.高等數學研究,2009,12(4):117-121.