利用二次函數求最值應注意的兩個問題

楊虎成+熊羆

在北師大版九年級數學下冊教材第二章中有兩節《何時獲得最大利潤》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數求最大值的問題，在實際應用中我們發現學生存在以下幾個誤區。

誤區一：二次函數的頂點縱坐標為最大值

在二次函數的實際應用中，二次函數的頂點縱坐標并不一定為最大值，我們應具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當x=25時，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點評：很多學生在學習中經常犯這樣的錯誤，他們認為利用二次函數求最大值，只要求出二次函數表達式，并將之化為頂點式，頂點縱坐標即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點就不在自變量范圍內，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側，根據二次函數的增減性，我們可知當x=40時，S會有最大值。

誤區二：二次函數開口向上沒有最大值

例2.根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數關系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式；（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設y1=kx（x≥0），設y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設這位專業戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當x=2時，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，∴當x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，∴當x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專業戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點評：此題第（2）問，很多學生會說a=0.5，二次函數開口向上，應該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側（即當0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側（即當2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

在利用二次函數來求最大值問題時，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數的開口方向。①當開口向下，頂點位于自變量范圍內時（北師大九年級下教材中兩節均為此種類型），頂點縱坐標為最大值；②當開口向下，頂點不位于自變量范圍內時（如例1），要求出端點坐標，通過比較端點縱坐標大小來確定最大值；③當二次函數開口向上（如例2）時，也有最大值，直接比較兩個端點縱坐標，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學）

編輯 薄躍華

在北師大版九年級數學下冊教材第二章中有兩節《何時獲得最大利潤》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數求最大值的問題，在實際應用中我們發現學生存在以下幾個誤區。

誤區一：二次函數的頂點縱坐標為最大值

在二次函數的實際應用中，二次函數的頂點縱坐標并不一定為最大值，我們應具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當x=25時，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點評：很多學生在學習中經常犯這樣的錯誤，他們認為利用二次函數求最大值，只要求出二次函數表達式，并將之化為頂點式，頂點縱坐標即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點就不在自變量范圍內，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側，根據二次函數的增減性，我們可知當x=40時，S會有最大值。

誤區二：二次函數開口向上沒有最大值

例2.根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數關系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式；（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設y1=kx（x≥0），設y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設這位專業戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當x=2時，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，∴當x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，∴當x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專業戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點評：此題第（2）問，很多學生會說a=0.5，二次函數開口向上，應該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側（即當0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側（即當2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

在利用二次函數來求最大值問題時，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數的開口方向。①當開口向下，頂點位于自變量范圍內時（北師大九年級下教材中兩節均為此種類型），頂點縱坐標為最大值；②當開口向下，頂點不位于自變量范圍內時（如例1），要求出端點坐標，通過比較端點縱坐標大小來確定最大值；③當二次函數開口向上（如例2）時，也有最大值，直接比較兩個端點縱坐標，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學）

編輯 薄躍華

在北師大版九年級數學下冊教材第二章中有兩節《何時獲得最大利潤》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數求最大值的問題，在實際應用中我們發現學生存在以下幾個誤區。

誤區一：二次函數的頂點縱坐標為最大值

在二次函數的實際應用中，二次函數的頂點縱坐標并不一定為最大值，我們應具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當x=25時，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點評：很多學生在學習中經常犯這樣的錯誤，他們認為利用二次函數求最大值，只要求出二次函數表達式，并將之化為頂點式，頂點縱坐標即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點就不在自變量范圍內，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側，根據二次函數的增減性，我們可知當x=40時，S會有最大值。

誤區二：二次函數開口向上沒有最大值

例2.根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數關系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式；（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設y1=kx（x≥0），設y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設這位專業戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當x=2時，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，∴當x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，∴當x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專業戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點評：此題第（2）問，很多學生會說a=0.5，二次函數開口向上，應該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側（即當0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側（即當2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

在利用二次函數來求最大值問題時，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數的開口方向。①當開口向下，頂點位于自變量范圍內時（北師大九年級下教材中兩節均為此種類型），頂點縱坐標為最大值；②當開口向下，頂點不位于自變量范圍內時（如例1），要求出端點坐標，通過比較端點縱坐標大小來確定最大值；③當二次函數開口向上（如例2）時，也有最大值，直接比較兩個端點縱坐標，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學）

編輯 薄躍華