高考中的萬有引力解析

賈鳳早

萬有引力定律和牛頓運動定律、圓周運動、天體運動聯系緊密，牽涉知識面廣，綜合性較強，是考查學生綜合運用知識分析問題的較好內容。

對萬有引力定律，高考試題深入分析的大致分為兩大類。

第一類是直接運用萬有引力提供物體作為圓周運動的向心力，運用公式F萬=F向，即：

=mrω2=mr（ ）2

通過公式變形，結合其他知識就可求解。

例1.兩顆人造地球人造衛星，都在圓周軌道運行，它們的質量相等。軌道半徑之比r1：r2=2：1，則它們的動能之比Ek1：Ek2為多少？

解：人造衛星繞地球運轉，由

=mv2/r，得v=

因為Ek= mv2=

所以Ek1：Ek2= =1：2

第二類是由萬有引力提供物體做圓周運動的向心力，牛頓第二定律，結合星球表面的重力近似等于物體與星球間的萬有引力和其他物理知識進行考核。即：F向=mrω2=mr（ ）2和 =mg

例2.已知地球半徑為6.4×106 m，又知月球繞地球的運動可近似看作勻速圓周運動，則可估算出月球到地心的距離約為（結果只保留一位有效數字）

解：設月球質量為m，到地心的距離為r，繞地球運轉的周期為T=27.3天，由萬有引力定律得：

=mr（ ）2

r3= …………（1）

又由 =mg得：

GM地=gR2地…………（2）

將（2）代入（1）得：

r=

代入數據得：r=4×108 m.

例3.同步衛星是指相對地面不動的人造衛星，下列說法正確的是（ ）

A.他可以在地面上任一點的正上方，且離地心的距離是可按需要選擇不同的值。

B.他可以在地面上任一點的正上方，且離地心的距離是一定的。

C.它只能在赤道的正上方，但離地心的距離可按需要選擇不同值。

D.它只能在赤道的正上方，但離地心的距離是一定的。

解析：地球自轉的轉軸通過地球南北極的軸線，且衛星繞地球運轉的向心力由地球對衛星的萬有引力來提供，所以，同步衛星只能處在赤道的正上方，才能與地球的自轉同步。其距地心的距離r由下式決定：

=mr（ ）2

由上式得：r=

而T是固定的24h，所以，所有的同步衛星運轉的軌道半徑都是相同的，故答案應選D。

綜上所述，萬有引力定律高考題利用萬有引力提供物體做圓周運動的向心力，牛頓第二定律，萬有引力近似等于星球表面的重力，同步衛星及其他知識分析問題，解答也就容易了。

（作者單位 四川省西昌市禮州中學）

編輯 薄躍華