三角函數主要內容與方法概述

孫士杰

三角函數部分主要內容有：（1）角的概念與度量；（2）任意角三角函數的定義；（3）同角三角函數的基本關系式；（4）誘導公式；（5）和、差、倍、半角的三角函數公式；（6）三角函數的圖象與性質；（7）已知三角函數值求角；（8）正弦定理、余弦定理及其應用（主要是解斜三角形）。

1.角的概念與度量：要從動靜兩個角度來認識角。用弧度制來度量角，使弧長公式、扇形面積公式等得到簡化，也能加深對角的集合與實數集合間一一對應關系的理解。要掌握角度與弧度的

換算。

2.任意角三角函數的定義：把角放在直角坐標系中，用角終邊上的一點來定義。角（即實數）為自變量，比值為函數值，六種三角函數中，正弦、余弦、正切函數最為重要，要掌握其符號規律。

3.同角三角函數的基本關系式：

（1）平方關系：sin2α+cos2α=1；

（2）商數關系： =tanα；

（3）倒數關系：tanα·cotα=1.

要學會用同角三角函數的基本關系式，已知角的一種三角函數值，求角的其他三角函數值。

4.誘導公式：由角的終邊關系及三角函數定義得出

對k·360°+α，180°±α，-α，360°-α的誘導公式，可概括為：函數名不變，符號看象限；對 ±α， ±α的誘導公式，可概括為：函數名改變，符號看象限。

以上兩種情況可以合在一起概括為：奇變偶不變，符號看象限?！捌妗敝?奇數倍的誘導公式： ±α， ±α；“偶”指 偶數倍的誘導公式：π±α，2π±α。

誘導公式也可由兩角和與差的三角函數公式導出。由我們自己選擇使用誘導公式時，我們通常選“名不變”的。要理解名不變，名改變的含義，知道符號看象限的符號指的是什么，怎么看。值得指出的是，誘導公式中的α是任意角。

各個象限的角可寫成如下形式：

一象限：k·360°+α；

二象限：k·360°+180°-α（也可寫成k·360°+90°+α）；

三象限：k·360°+180°+α（也可寫成k·360°+270°-α）；

四象限：k·360°+360°-α（也可寫成k·360°-α）。

其中α是銳角。

5.和差倍半公式：要熟練掌握公式，特別是要掌握公式的內在聯系及推導線索，運用這些公式及同角三角函數的基本關系式進行三角函數式的化簡，求值，證明。（和差是相對的，倍半是相對的，公式中的角是使各式有意義的角。）

三角函數中，獨立的量少，關系多（這些是其重要特點之一），因而解題的途徑較多，條條大路通羅馬。要注意做到途徑簡捷，“不倒走”（犯循環的錯誤，算回來了）。要掌握基本方法，如，切化弦、化同名、化單角、化成Asin（？棕x+？漬）等。

6.三角函數的圖象和性質：要能熟練畫出：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=Asin（？棕x+？漬）以及y=Acos（？棕x+？漬），y=Atan（？棕x+？漬）的圖象，主要是五點作圖，要會看、會用圖象，掌握其結構特點，通過圖象掌握性質（特別是周期性、對稱性、單調性），再輔以復合函數解題。

三角函數還是函數，要注意函數思想在三角中的運用。對三角函數的周期要求會求y=Asin（？棕x+？漬）的周期（或余弦、正切）以及可化成上述函數的周期即可。

要掌握正余弦函數的平移、伸縮、對稱變換，能根據圖象確定其解析表達式。

7.已知三角函數值求角：

（1）知道反正弦、反余弦、反正切的含義及表示法：

x=arcsina？圳x∈- ， （-1≤a≤1）

sinx=a；x是- ， 上的角，a是x的正弦值。

函數y=sinx，x∈- ， ，x與y之間一一對應。反余弦，反正切請讀者自己總結。

（2）能根據角的三角函數值求出角。

要會利用三角函數圖象，三角函數的周期性，誘導公式（逆向使用）求出滿足條件的角。以正弦為例，先在x∈- ， 上求出使sinx=a的角（x是arcsina），然后，再利用三角函數的誘導公式和周期性求其他范圍的角。

（3）會將asinx+bcosx化成 sin（x+？漬）的形式，并知道怎樣確定？漬角（也可化成余弦形式）。

8.解斜三角形：

（1）要熟練掌握正弦定理、余弦定理并運用這兩個定理解三角形；

（2）確定三角形的條件；

（3）要重視利用正弦定理，余弦定理。

【參考練習】

1.定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈0， 時，f（x）=sinx，則f（ ）的

值為：

A.- B. C.- D.

2.已知f（cosx）=cos3x，則f（sin30°）的值是：

A.-1 B.1 C.0 D.

3.已知α，β均為銳角，且cosα= ，cos（α+β）=- ，求角β

4.求函數y=sin（-3x+ ）的單調遞減區間。

5.求函數y= 的最大值

6.如圖，扇形AOB的半徑為1，其圓心角為 ，PQRK是扇形的內接矩形，設∠POA=θ.

（1）將矩形PQRK的面積S表示為θ的函數S（θ）；

（2）當θ為何值時，矩形PQRK的面積最大？并求出最大值。

（作者單位 吉林省長嶺縣巨寶中心校）

編輯 張珍珍