道德風(fēng)險下機(jī)動車保險中的非同質(zhì)性保單索賠次數(shù)模型分析

邢婧

摘 要 機(jī)動車保險是一類索賠比較頻繁的保險。本文對機(jī)動車保險存在的道德風(fēng)險問題時的非同質(zhì)性保單模型進(jìn)行了討論，用二元和三元混合泊松模型進(jìn)行了分析，并對其重要參數(shù)進(jìn)行了計算和估計。

關(guān)鍵詞 道德風(fēng)險 非同質(zhì)性 復(fù)合泊松分布

中圖分類號：F840.65 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

On the Number of Non-homogeneous Claims Policy Mode in

Motor Insurance Policies under Moral Hazard

XING Jing

（College of Statistics， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract Motor vehicle insurance is a relatively frequent insurance claims. In this paper， the policy of non-homogeneous model of moral hazard problem exists were discussed， with the binary and ternary mixed Poisson models were analyzed， and the calculation and estimation of its important parameters.

Key words moral hazard； non-homogeneous； compound Poisson distribution

所謂非同質(zhì)性是指保單組合中每份保單的索賠頻率并不相同。在保險實(shí)踐中，這就使得簡單易用的泊松模型失去了應(yīng)用的前提。此時可以考慮混合索賠次數(shù)模型。以下對非同質(zhì)性保單組合的索賠次數(shù)建模及參數(shù)估計。

要準(zhǔn)確描述一個非同質(zhì)保單組合的索賠次數(shù)分布，就首先需要確定這一保單組合中泊松參數(shù)的變化規(guī)律。對于規(guī)模較小的保單組合，可以假設(shè)泊松參數(shù)取有限個值，比如取大、中、小三種值，分別代表高、中、低三種風(fēng)險或取大、小兩種值，分別代表高、低兩種風(fēng)險。也可以假定一個保單組合的泊松參數(shù)服從連續(xù)分布。這種用以描述一個保單組合泊松參數(shù)變化規(guī)律的分布也被稱作結(jié)構(gòu)函數(shù)。下面介紹以伽瑪分布的連續(xù)性結(jié)構(gòu)函數(shù)的索賠次數(shù)模型。

1 伽瑪結(jié)構(gòu)函數(shù)：負(fù)二項分布模型

在假設(shè)一格保險單組合的泊松參數(shù)服從參數(shù)為（，）的伽瑪分布的前提下，從此保單組合中隨機(jī)抽取的任意一份保單在單位時間內(nèi)發(fā)生次索賠的概率為：

（1）

此即負(fù)二項分布的概率函數(shù)。其均值、方差和偏度系數(shù)分別為：均值 = ，方差 = （1 + ），偏度系數(shù) = [32 + 2]。負(fù)二項分布的矩，其中和分別為樣本均值和方差。在以上模型中，的分布中和是兩個非常重要的參數(shù)，在實(shí)際中我們可以基于觀測到的索賠次數(shù)樣本對其進(jìn)行區(qū)間估計如下：

易知，當(dāng)樣本容量很大時有：

（2）

及 （3）

又和相互獨(dú)立，記，其均值為，

則有 （4）

其中

， ，，

則

則。記，則由（2），（3），（4）有。記 = ，由于，中元素為，的函數(shù)，記 = （，），記，則由（1981）的強(qiáng)大數(shù)定理及（1980）的定理：。進(jìn)一步，若與 正定，由（1986），有當(dāng)→時，

（5）

故可以由（5.15）對進(jìn)行區(qū)間估計，對于給定顯著水平，可通過查表求出中的， （）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，則，即在顯著水平的置信區(qū)間為。類似的可以等到的置信區(qū)間。

2 離散型結(jié)構(gòu)函數(shù)：二元和三元風(fēng)險模型

為了更好地模擬實(shí)際保單中高中低風(fēng)險保單，有必要假設(shè)保單組合由兩類或三類風(fēng)險保單構(gòu)成。先考慮由兩類風(fēng)險保單構(gòu)成情況，其中高風(fēng)險的保單（泊松分布參數(shù)為）占，低風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，且 + = 1，則從保單組合中任意抽取的隨機(jī)個體保單的索賠次數(shù)分布為

（6）

二元風(fēng)險模型有四個未知參數(shù)，可以用如下方程組求得其矩估計值：

（7）

其中，，是各級樣本的原點(diǎn)矩。在實(shí)際中，如果根據(jù)經(jīng)驗已獲得和的良好估計，則估計和的問題變成了一個解超定方程問題，易知此方程（7）最優(yōu)解由以下最小二乘解（LSE）給出，具體過程略。

如果假設(shè)保單組合由三種類型的風(fēng)險構(gòu)成，其中高風(fēng)險的保單（泊松參數(shù)為）占，中等風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，低風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，且 + + = 1，參數(shù)估計的方法也是類似的。

參考文獻(xiàn)

[1] 張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué).上海：上海三聯(lián)書店，上海人民出版社，1996.

[2] 周亞平.保險企業(yè)信息不對稱風(fēng)險分析 [D].武漢：武漢大學(xué)，2002.

[3] 鐘樺.道德風(fēng)險下的最優(yōu)保險契約模型[D].重慶：重慶大學(xué)，2005.endprint

摘 要 機(jī)動車保險是一類索賠比較頻繁的保險。本文對機(jī)動車保險存在的道德風(fēng)險問題時的非同質(zhì)性保單模型進(jìn)行了討論，用二元和三元混合泊松模型進(jìn)行了分析，并對其重要參數(shù)進(jìn)行了計算和估計。

關(guān)鍵詞 道德風(fēng)險 非同質(zhì)性 復(fù)合泊松分布

中圖分類號：F840.65 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

On the Number of Non-homogeneous Claims Policy Mode in

Motor Insurance Policies under Moral Hazard

XING Jing

（College of Statistics， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract Motor vehicle insurance is a relatively frequent insurance claims. In this paper， the policy of non-homogeneous model of moral hazard problem exists were discussed， with the binary and ternary mixed Poisson models were analyzed， and the calculation and estimation of its important parameters.

Key words moral hazard； non-homogeneous； compound Poisson distribution

所謂非同質(zhì)性是指保單組合中每份保單的索賠頻率并不相同。在保險實(shí)踐中，這就使得簡單易用的泊松模型失去了應(yīng)用的前提。此時可以考慮混合索賠次數(shù)模型。以下對非同質(zhì)性保單組合的索賠次數(shù)建模及參數(shù)估計。

要準(zhǔn)確描述一個非同質(zhì)保單組合的索賠次數(shù)分布，就首先需要確定這一保單組合中泊松參數(shù)的變化規(guī)律。對于規(guī)模較小的保單組合，可以假設(shè)泊松參數(shù)取有限個值，比如取大、中、小三種值，分別代表高、中、低三種風(fēng)險或取大、小兩種值，分別代表高、低兩種風(fēng)險。也可以假定一個保單組合的泊松參數(shù)服從連續(xù)分布。這種用以描述一個保單組合泊松參數(shù)變化規(guī)律的分布也被稱作結(jié)構(gòu)函數(shù)。下面介紹以伽瑪分布的連續(xù)性結(jié)構(gòu)函數(shù)的索賠次數(shù)模型。

1 伽瑪結(jié)構(gòu)函數(shù)：負(fù)二項分布模型

在假設(shè)一格保險單組合的泊松參數(shù)服從參數(shù)為（，）的伽瑪分布的前提下，從此保單組合中隨機(jī)抽取的任意一份保單在單位時間內(nèi)發(fā)生次索賠的概率為：

（1）

此即負(fù)二項分布的概率函數(shù)。其均值、方差和偏度系數(shù)分別為：均值 = ，方差 = （1 + ），偏度系數(shù) = [32 + 2]。負(fù)二項分布的矩，其中和分別為樣本均值和方差。在以上模型中，的分布中和是兩個非常重要的參數(shù)，在實(shí)際中我們可以基于觀測到的索賠次數(shù)樣本對其進(jìn)行區(qū)間估計如下：

易知，當(dāng)樣本容量很大時有：

（2）

及 （3）

又和相互獨(dú)立，記，其均值為，

則有 （4）

其中

， ，，

則

則。記，則由（2），（3），（4）有。記 = ，由于，中元素為，的函數(shù)，記 = （，），記，則由（1981）的強(qiáng)大數(shù)定理及（1980）的定理：。進(jìn)一步，若與 正定，由（1986），有當(dāng)→時，

（5）

故可以由（5.15）對進(jìn)行區(qū)間估計，對于給定顯著水平，可通過查表求出中的， （）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，則，即在顯著水平的置信區(qū)間為。類似的可以等到的置信區(qū)間。

2 離散型結(jié)構(gòu)函數(shù)：二元和三元風(fēng)險模型

為了更好地模擬實(shí)際保單中高中低風(fēng)險保單，有必要假設(shè)保單組合由兩類或三類風(fēng)險保單構(gòu)成。先考慮由兩類風(fēng)險保單構(gòu)成情況，其中高風(fēng)險的保單（泊松分布參數(shù)為）占，低風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，且 + = 1，則從保單組合中任意抽取的隨機(jī)個體保單的索賠次數(shù)分布為

（6）

二元風(fēng)險模型有四個未知參數(shù)，可以用如下方程組求得其矩估計值：

（7）

其中，，是各級樣本的原點(diǎn)矩。在實(shí)際中，如果根據(jù)經(jīng)驗已獲得和的良好估計，則估計和的問題變成了一個解超定方程問題，易知此方程（7）最優(yōu)解由以下最小二乘解（LSE）給出，具體過程略。

如果假設(shè)保單組合由三種類型的風(fēng)險構(gòu)成，其中高風(fēng)險的保單（泊松參數(shù)為）占，中等風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，低風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，且 + + = 1，參數(shù)估計的方法也是類似的。

參考文獻(xiàn)

[1] 張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué).上海：上海三聯(lián)書店，上海人民出版社，1996.

[2] 周亞平.保險企業(yè)信息不對稱風(fēng)險分析 [D].武漢：武漢大學(xué)，2002.

[3] 鐘樺.道德風(fēng)險下的最優(yōu)保險契約模型[D].重慶：重慶大學(xué)，2005.endprint

摘 要 機(jī)動車保險是一類索賠比較頻繁的保險。本文對機(jī)動車保險存在的道德風(fēng)險問題時的非同質(zhì)性保單模型進(jìn)行了討論，用二元和三元混合泊松模型進(jìn)行了分析，并對其重要參數(shù)進(jìn)行了計算和估計。

關(guān)鍵詞 道德風(fēng)險 非同質(zhì)性 復(fù)合泊松分布

中圖分類號：F840.65 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

On the Number of Non-homogeneous Claims Policy Mode in

Motor Insurance Policies under Moral Hazard

XING Jing

（College of Statistics， Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract Motor vehicle insurance is a relatively frequent insurance claims. In this paper， the policy of non-homogeneous model of moral hazard problem exists were discussed， with the binary and ternary mixed Poisson models were analyzed， and the calculation and estimation of its important parameters.

Key words moral hazard； non-homogeneous； compound Poisson distribution

所謂非同質(zhì)性是指保單組合中每份保單的索賠頻率并不相同。在保險實(shí)踐中，這就使得簡單易用的泊松模型失去了應(yīng)用的前提。此時可以考慮混合索賠次數(shù)模型。以下對非同質(zhì)性保單組合的索賠次數(shù)建模及參數(shù)估計。

要準(zhǔn)確描述一個非同質(zhì)保單組合的索賠次數(shù)分布，就首先需要確定這一保單組合中泊松參數(shù)的變化規(guī)律。對于規(guī)模較小的保單組合，可以假設(shè)泊松參數(shù)取有限個值，比如取大、中、小三種值，分別代表高、中、低三種風(fēng)險或取大、小兩種值，分別代表高、低兩種風(fēng)險。也可以假定一個保單組合的泊松參數(shù)服從連續(xù)分布。這種用以描述一個保單組合泊松參數(shù)變化規(guī)律的分布也被稱作結(jié)構(gòu)函數(shù)。下面介紹以伽瑪分布的連續(xù)性結(jié)構(gòu)函數(shù)的索賠次數(shù)模型。

1 伽瑪結(jié)構(gòu)函數(shù)：負(fù)二項分布模型

在假設(shè)一格保險單組合的泊松參數(shù)服從參數(shù)為（，）的伽瑪分布的前提下，從此保單組合中隨機(jī)抽取的任意一份保單在單位時間內(nèi)發(fā)生次索賠的概率為：

（1）

此即負(fù)二項分布的概率函數(shù)。其均值、方差和偏度系數(shù)分別為：均值 = ，方差 = （1 + ），偏度系數(shù) = [32 + 2]。負(fù)二項分布的矩，其中和分別為樣本均值和方差。在以上模型中，的分布中和是兩個非常重要的參數(shù)，在實(shí)際中我們可以基于觀測到的索賠次數(shù)樣本對其進(jìn)行區(qū)間估計如下：

易知，當(dāng)樣本容量很大時有：

（2）

及 （3）

又和相互獨(dú)立，記，其均值為，

則有 （4）

其中

， ，，

則

則。記，則由（2），（3），（4）有。記 = ，由于，中元素為，的函數(shù)，記 = （，），記，則由（1981）的強(qiáng)大數(shù)定理及（1980）的定理：。進(jìn)一步，若與 正定，由（1986），有當(dāng)→時，

（5）

故可以由（5.15）對進(jìn)行區(qū)間估計，對于給定顯著水平，可通過查表求出中的， （）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，則，即在顯著水平的置信區(qū)間為。類似的可以等到的置信區(qū)間。

2 離散型結(jié)構(gòu)函數(shù)：二元和三元風(fēng)險模型

為了更好地模擬實(shí)際保單中高中低風(fēng)險保單，有必要假設(shè)保單組合由兩類或三類風(fēng)險保單構(gòu)成。先考慮由兩類風(fēng)險保單構(gòu)成情況，其中高風(fēng)險的保單（泊松分布參數(shù)為）占，低風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，且 + = 1，則從保單組合中任意抽取的隨機(jī)個體保單的索賠次數(shù)分布為

（6）

二元風(fēng)險模型有四個未知參數(shù)，可以用如下方程組求得其矩估計值：

（7）

其中，，是各級樣本的原點(diǎn)矩。在實(shí)際中，如果根據(jù)經(jīng)驗已獲得和的良好估計，則估計和的問題變成了一個解超定方程問題，易知此方程（7）最優(yōu)解由以下最小二乘解（LSE）給出，具體過程略。

如果假設(shè)保單組合由三種類型的風(fēng)險構(gòu)成，其中高風(fēng)險的保單（泊松參數(shù)為）占，中等風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，低風(fēng)險保單（泊松分布參數(shù)為）占，且 + + = 1，參數(shù)估計的方法也是類似的。

參考文獻(xiàn)

[1] 張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué).上海：上海三聯(lián)書店，上海人民出版社，1996.

[2] 周亞平.保險企業(yè)信息不對稱風(fēng)險分析 [D].武漢：武漢大學(xué)，2002.

[3] 鐘樺.道德風(fēng)險下的最優(yōu)保險契約模型[D].重慶：重慶大學(xué)，2005.endprint