幾何畫板輔助初中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用探索

周克鋒

當(dāng)前，基礎(chǔ)教育改革如火如荼，教育信息化風(fēng)起云涌，技術(shù)的堆疊加快了教育改革與創(chuàng)新的步伐，云計(jì)算、翻轉(zhuǎn)課堂、iPad教學(xué)、魔燈、數(shù)字化學(xué)習(xí)層出不窮，為學(xué)生提供了全新的教學(xué)模式，給教育發(fā)展注入了無限生機(jī)。隨著科學(xué)化教育時(shí)代的到來，教師不僅是智慧的教育者，也是現(xiàn)代科技的引路人，以顛覆傳統(tǒng)的探索和認(rèn)知方式，為學(xué)生打開一扇通往科學(xué)的大門。初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去。”幾何畫板適用于代數(shù)的計(jì)算、幾何的分析以及函數(shù)作圖的動(dòng)態(tài)研究，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富、便捷的操作環(huán)境，讓師生可以隨心所欲地探索教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用技術(shù)手段解決問題。

1 幾何畫板輔助教學(xué)的特點(diǎn)

幾何畫板通過基本的點(diǎn)、線、圓等元素的變換、計(jì)算、構(gòu)建、跟蹤軌跡等功能，可以構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形。幾何畫板為學(xué)生提供了做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的環(huán)境，通過變換能化繁為簡，變抽象為直觀。

1）形象性。幾何畫板是一塊“運(yùn)動(dòng)”的黑板，通過測量、構(gòu)建等使抽象的內(nèi)容變得形象生動(dòng)。在“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)中，幾何畫板可以通過比較圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系，讓學(xué)生直觀地感受直線與圓相離、相切、相交所具有的性質(zhì)。

2）動(dòng)態(tài)性。幾何畫板以不變應(yīng)萬變，讓學(xué)生在幾何元素的變化過程中掌握幾何規(guī)律。如在“過三角形頂點(diǎn)作三角形對(duì)邊的高”教學(xué)時(shí)，在常態(tài)教學(xué)中為了清晰地說明問題，要分銳角、直角和鈍角三角形三種情況畫圖說明，而運(yùn)用幾何畫板，教師可以通過拖動(dòng)點(diǎn)隨心所欲地改變?nèi)切蔚男螤?，讓學(xué)生借助于計(jì)算機(jī)教學(xué)手段深入理解幾何的精髓。

3）便捷性。幾何畫板有著傻瓜式的操作，無需編制冗長的程序，只要通過菜單、工具欄就可輕松實(shí)現(xiàn)探究。面對(duì)學(xué)生在課堂上提出的不可預(yù)判的想法，能及時(shí)通過修改標(biāo)簽、文本、參數(shù)，重構(gòu)圖形，利用幾何元素之間的關(guān)系解決問題。

2 幾何畫板輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的作用

能輕松展示數(shù)量、圖形的變化過程 “代數(shù)繁、幾何難”長期困擾著學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)難已成為不爭的事實(shí)。對(duì)于代數(shù)，強(qiáng)調(diào)數(shù)、字母之間運(yùn)算，過于抽象化和公式化，學(xué)生缺乏想象力，最后往往演變成枯燥乏味繁雜的計(jì)算。而對(duì)于幾何圖形也是孤立地看待，割裂了各元素之間的聯(lián)系，往往把簡單的問題變得復(fù)雜化。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分利用數(shù)的簡潔、形的直觀說明問題，才能化繁為簡，便于學(xué)生觀察，易于學(xué)生接受。如在教授相反數(shù)過程中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生認(rèn)為a的相反數(shù)-a就是負(fù)數(shù)，如圖1所示。為了糾正這一錯(cuò)誤，利用幾何畫板做的課件，拖動(dòng)數(shù)a，學(xué)生直觀體會(huì)到-a原來也可以為任何數(shù)。而在“中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形”教學(xué)中，通過繪制三角形、確定旋轉(zhuǎn)中心、標(biāo)記角度、旋轉(zhuǎn)變換，學(xué)生可以通過拖動(dòng)點(diǎn)，觀察圖形的旋轉(zhuǎn)效果。

能開闊學(xué)生視野，培養(yǎng)發(fā)散思維能力 幾何畫板界面簡單，借助它學(xué)生可以從多角度審視問題，進(jìn)行討論交流，抓住幾何元素之間的位置和數(shù)量關(guān)系，探索未知的結(jié)論，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在幾何教學(xué)中，一些概念抽象難懂，教師若不分析學(xué)情，一味機(jī)械地灌輸，反而會(huì)使學(xué)生喪失興趣，缺乏探究熱情。如在“軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形”教學(xué)中，教師運(yùn)用幾何畫板制作一只振翅的蜻蜓，很快吸引了學(xué)生的注意力，學(xué)生在觀察翅膀不斷重復(fù)的現(xiàn)象中理解了“軸對(duì)稱”的定義；并適時(shí)顯示成軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)態(tài)變化的三角形，讓他們在不斷變化中探索對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱線段與對(duì)稱軸之間的關(guān)系。學(xué)生在愉悅的探究中實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)真正意義上的建構(gòu)，從而啟迪思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

能呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)信息，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維 基于傳統(tǒng)手段的數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形是靜止的、孤立的，忽視了數(shù)量與空間關(guān)系的聯(lián)系，學(xué)生難以直觀觀察到其隱藏的幾何規(guī)律。幾何畫板能為學(xué)生營造形象逼真的效果，引發(fā)學(xué)生的探究興趣，讓他們通過動(dòng)腦思考、動(dòng)手實(shí)踐、動(dòng)口表達(dá)，參與數(shù)學(xué)思維過程，從而創(chuàng)造性地解決問題。如在“圓周角”教學(xué)中，教師讓學(xué)生通過拖曳改變圓周角的大小，繼而觀察、計(jì)算、猜測，發(fā)現(xiàn)圓周角和圓心角存在的內(nèi)在關(guān)系，讓學(xué)生成為課堂的主人，能積極主動(dòng)地探究并發(fā)現(xiàn)問題。

3 當(dāng)前幾何畫板教學(xué)存在的主要問題

幾何畫板堪稱動(dòng)態(tài)的數(shù)形黑板，自20世紀(jì)推行漢化版以來，深受廣大師生的青睞，它打破了傳統(tǒng)的尺規(guī)主導(dǎo)的幾何課堂模式，為數(shù)學(xué)教學(xué)注入無限活力。然而也要清醒地認(rèn)識(shí)到，幾何畫板的應(yīng)用還存在諸多方面的問題。

1）教育技術(shù)整體層次不足。雖然省市教育主管部門也對(duì)教師進(jìn)行了現(xiàn)代教育技術(shù)的培訓(xùn)與考核，但其針對(duì)性不強(qiáng)，幾何畫板的培訓(xùn)往往被很多學(xué)校所忽視，導(dǎo)致部分教師制作的課件粗制濫造、重點(diǎn)不突出，難以滿足課堂教學(xué)的要求。問題一：形式主義。部分教師為了追過所謂的“效果”，不是花時(shí)間思考如何將所授內(nèi)容變得直觀具體，而是不惜花大力氣吸引學(xué)生的注意力，堆砌過多的顏色、聲音等與教學(xué)內(nèi)容無關(guān)的素材，無異于畫蛇添足，沖淡了教學(xué)的主題。問題二：拿來主義。部分教師不去分析教情，奉行拿來主義，對(duì)素材缺乏深層次的加工，幾何畫板教學(xué)演變成簡單的幻燈片呈現(xiàn)。問題三：呆板教條。部分教師習(xí)慣于固定的模式操作，制作凌亂，缺乏條理，課件設(shè)計(jì)封閉而不具開放性，想借課件呈現(xiàn)所有的內(nèi)容，導(dǎo)致課件缺乏通用性。

2）教學(xué)觀念陳舊。部分教師注重幾何畫板的“教”，而忽視了其“學(xué)”的功能，只不過是由“人灌”變成了“機(jī)灌”。完全可以在條件允許的情況下，讓學(xué)生學(xué)習(xí)畫板的一些基本操作，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用幾何畫板去觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、猜測、驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)和歸納，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系。如在網(wǎng)上曾經(jīng)流傳的“巧克力無限吃法”，學(xué)生非常好奇，他們利用畫板求證，很輕松就粉碎了這個(gè)流言。難能可貴的是，大家并沒有滿足于此，對(duì)于可能出現(xiàn)的多種切割分法，還用所學(xué)的一次函數(shù)（y=kx+b）知識(shí)來分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)果只跟切割直線與水平線的夾角（即k）有關(guān)，跟切割點(diǎn)的位置（即b）無關(guān)。

3）方法不夠靈活。幾何畫板的應(yīng)用范圍廣泛，包括計(jì)算、方程、函數(shù)、平面幾何內(nèi)容。有的教師認(rèn)為幾何畫板理所當(dāng)然解決幾何問題，其實(shí)只要構(gòu)思巧妙，同樣能很好地解決代數(shù)問題。如在學(xué)“有理數(shù)的加法與減法”時(shí)，為了形象刻畫出加減法的原理，如圖2所示，做了一個(gè)自定義工具（由自由點(diǎn)A生成箭頭B，并以文本形式呈現(xiàn)B與A的橫坐標(biāo)差值），讓學(xué)生親自操作體驗(yàn)，大家在生活化的學(xué)習(xí)氛圍中更直觀，更形象地理解有理數(shù)加法法則。平時(shí)不僅要考慮探究式教學(xué)方式，注重形象的演示效果，還要對(duì)學(xué)生的問題意識(shí)、想象能力、興趣培養(yǎng)等方面給予足夠的關(guān)注，對(duì)其適切性也要進(jìn)行必要的探究。

4 幾何畫板的有效應(yīng)用策略

以教學(xué)積件融入教學(xué)過程 隨著新課改的逐步深入，積件已成為教學(xué)的新寵，它通過簡單的疊加為教師提供了多樣化的解決方案。它相對(duì)于傳統(tǒng)的課件而言，具有短小精悍、靈活方便的特點(diǎn)，能適應(yīng)靈活多變的教學(xué)環(huán)境，成為發(fā)揮師生創(chuàng)造性的有力助手。如“圓與圓的位置關(guān)系”的積件中，右邊是兩圓⊙O1、⊙O2位置關(guān)系的動(dòng)畫演示，左邊分別顯示兩圓半徑R、r、R+r、R-r、O1O2的值，學(xué)生通過改變⊙O2的位置，將O1O2的值與R+r、R-r進(jìn)行對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系。

以動(dòng)態(tài)黑板改變教學(xué)形式 在幾何教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生在自主探索、師生的交流互動(dòng)中使學(xué)生思維變得非常活躍，往往會(huì)產(chǎn)生不可預(yù)見、無法控制的新問題，有些問題往往超出教師的預(yù)設(shè)范圍，教師要借助于直觀的工具分析才能解決困惑。幾何畫板操作簡單，教師可以當(dāng)堂重構(gòu)幾何圖形，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，直觀地呈現(xiàn)教師分析問題的思路。

在講“變化中的不變性”專題教學(xué)中，有這樣一道練習(xí)：

已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）。以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE。試寫出BC、DC、CE之間的數(shù)量關(guān)系（圖3-a）。

通過課件演示，學(xué)生了解需分三種情況來解答，也掌握解決此類問題的重點(diǎn)就是抓住“不變性”（△ABD≌△ACE），問題到此似乎得到圓滿解決。但此時(shí)有學(xué)生問：如果點(diǎn)D不在直線BC上呢？雖然說得很輕聲，但筆者并沒有讓這個(gè)問題溜走，通過編輯欄—從直線分離點(diǎn)這一功能，及時(shí)重構(gòu)圖形（圖3-b）發(fā)現(xiàn)：還是通過△ABD≌△ACE這一不變結(jié)論，考察的是三角形三邊大小關(guān)系，而結(jié)論也由相等變成了不等。此時(shí)，學(xué)生思維開始活躍起來，紛紛嘗試把已知條件中的兩個(gè)等邊三角形改成等腰直角三角形，或一般等腰三角形，甚至正方形（圖3-c：BC，DC，EF三者數(shù)量關(guān)系），結(jié)果又會(huì)如何？學(xué)習(xí)熱情高漲，課上沒來得及解決的問題，課后繼續(xù)探討，最后還把所得結(jié)論貼在學(xué)習(xí)園地與大家分享。

以學(xué)件支持引導(dǎo)學(xué)生探究 幾何畫板不僅是有利于“教”的工具，更是一個(gè)有利于“學(xué)”的工具，它為學(xué)生的自主探索提供了有力的支撐。在學(xué)習(xí)位似圖形時(shí)發(fā)現(xiàn)求兩位似正多邊形的位似中心是一個(gè)難點(diǎn)。為有效解決這一問題，組建一個(gè)課外興趣小組，讓學(xué)生先提出假設(shè)，通過修改學(xué)件的控制參數(shù)（正多邊形邊數(shù)），改變圖形位置、形狀，從而深層次挖掘其背后的數(shù)量和位置關(guān)系。經(jīng)過多次探討、研究，并加以驗(yàn)證，整理得出如下知識(shí)（圖4）。

1）兩個(gè)位似圖形的位似中心有一個(gè)或兩個(gè)：奇數(shù)邊正多邊形有一個(gè)位似中心；偶數(shù)邊正多邊形和圓（位似且不全等），則有兩個(gè)。

2）位似中心O不僅在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線上，也在兩旋轉(zhuǎn)中心OA、OB所在直線上。

3）假設(shè)A（xA，yA）對(duì)應(yīng)點(diǎn)B（xB，yB），B′（xB′，yB′）是點(diǎn)B關(guān)于OB中心對(duì)稱點(diǎn)，兩圖形位似比a：b。如果位似中心位于兩位似圖形（任意正多邊形）的同側(cè)，即O1（直線AB與OAOB的交點(diǎn)）坐標(biāo)為。如果位似中心位于兩位似圖形（任意偶數(shù)邊正多邊形）的異側(cè)，即O2（直線AB′與OAOB的交點(diǎn)）坐標(biāo)為。

4）位似圖形定義中的“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)”改為“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”更恰當(dāng)。

或許學(xué)生理解并不到位，歸納得不夠全面，但相比較于學(xué)生分析、推理等探究問題能力的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣的提高，知識(shí)的獲取或許不是最重要的。

總之，幾何畫板教學(xué)能突破數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，動(dòng)態(tài)反映數(shù)形之間關(guān)系。數(shù)學(xué)教師應(yīng)提高現(xiàn)代教育技術(shù)，通過幾何畫板化解教學(xué)難點(diǎn)，降低教學(xué)難度，提高學(xué)生的實(shí)踐探究能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

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