基于小波預處理的基坑變形監測數據的最小二乘估計

2014-04-18 07:42:48邱建昌袁昌茂

地理空間信息 2014年6期

關鍵詞：變形

邱建昌，袁昌茂

（1.惠州建昌測繪有限公司，廣東惠州 516100； 2. 廣西地理信息測繪院，廣西柳州 545000）

基于小波預處理的基坑變形監測數據的最小二乘估計

邱建昌1，袁昌茂2

（1.惠州建昌測繪有限公司，廣東惠州 516100； 2. 廣西地理信息測繪院，廣西柳州 545000）

利用小波變換特有的低通濾波屬性和有效抑制測量噪聲的能力,將傳統的最小二乘估計與之相結合,提出了一種基于小波預處理的最小二乘估計新方法,并針對具體基坑變形監測數據,驗證了該方法的有效性。

小波變換; 最小二乘估計; 噪聲; 擬合

研究基坑變形監測數據的估計理論中,常采用最小二乘法。傳統的最小二乘法在估計精度要求比較高的情況往往不能滿足要求。由于監測數據不可避免地存在噪聲，嚴重影響變形監測數據模型的質量。近幾年出現的小波分析是一種相當好的數據預處理方法，它通過對采集數據的多尺度分解，最大限度地提取信號中各種有用信息，在預處理的過程中通過小波變換的低通濾波效應分析并找出各部分中的“異?！辈课徊⑷コ赡艿脑肼暡糠郑瑢崿F監測數據發展規律的本質還原。

1 小波分析基本理論[1,2]

小波變換就是在平方可積空間（f（t）∈L2（R））中，有Ψ（t），當其Fourier變換Ψ^（ω）滿足允許條件：

有小波函數為：

式中，a為伸縮(尺度)因子；b為平移(位移)因子；a,b?R。顯然，當a>0時，伸縮因子才有直觀的物理意義。

函數簇是基本小波函數通過伸縮和平移得到的。小波變換的基底為：

由于選擇不同的參數a、b，就能構造不同尺度的小波基，在實際應用中，靈活選擇函數因子，就能對真實信號形成良好的逼近，這不僅能對信號進行有效分解和提取，還能進行信號的分離和消噪。

多分辨率分析[3]：多分辨分析在函數空間L2（R）(一維平面平方可積)內，將函數描述為一系列近似函數，每個近似函數的極限都能恒等于該分量。多分辨分析實際上就是多尺度函數逼近，從某個子空間L2（R）出發，建立起可變化的基底，通過變換，再把基底擴充到能夠覆蓋整個L2（R），通過這樣實現有效地逼近函數，實質上就是把整個平方可積的實變函數空間通過剖分轉化成一系列的函數子空間。即是把L2（R）按一定的分辨率先分解成一串嵌套的閉子空間序列{Vj}j∈Z，然后通過正交補的塔式分解再將L2（R）分解為一串正交小波子空間序列{Wj}j∈Z，各函數空間關系如下：

從上面的式子可以看出，小波變換能形成一系列不同尺度的序列，它的靈活變化可以提取包括從低頻到高頻信號的所有頻譜數據，并且不重疊，所以有相當好的連通適應性。

2 最小二乘估計的原理

估計從數據和函數的整體考慮。估計函數p（x）同監測數據點（xi，yi）（i=0,1,…,m）誤差ri=p（xi）-yi（i=0,1,…,m）的大小，通常有以下3種方法[4]：第1種是取誤差絕對值的最大值為估計準則，即誤差向量r=（r0,r1,…,rm）T的∞-范數；第2種是取誤差絕對值的和為估計準則，即誤差向量r的1-范數；第3種是取誤差平方和的算術平方根為估計準則，即誤差向量r的2-范數。前面2種方法雖然簡單、容易構造，但不便于微分運算，第3種方法相當于考慮 2-范數的平方，因此在最小二乘估計中常用來度量誤差估計模型ri（i=0，

1，…，m）的整體大小。

3 小波分析結合最小二乘估計的變形監測數據分析模型

變形監測最常用的數據分析模型[5]為：

式中，yi為實際觀測數據；xi為實際變形的信號；ni為噪聲信號。實際上，觀測數據的小波分析主用是利用小波分解的良好的逼近特性實現對觀測數據的噪聲消除，找出實際觀測值y(i)中的實際變形信號xi。然后再利用最小二乘估計求出xi最佳逼近模型。具體做法是：對觀測數據（xi'，yi'）（i=0,1,…，m），通過采用小波基底函數伸縮成不同的小波基對觀測數據的逼近，然后形成{Vj}j∈Z和{Wj}j∈Z兩串嵌套小波子空間序列，對蘊藏噪聲的高頻序列{Wj}j∈Z采用靈活的方法實現對噪聲的消除，把低頻部分{Vj}j∈Z和已經閾值處理過后的高頻部分進行小波重構，得到去噪后的變形信號xi'，最小二乘估計就是對xi'的估計。在取定的函數空間Φ中，求p（x）∈Φ，使誤差ri=p（xi）-xi'（i=0,1,…,m）的平方和最小，即

從幾何意義上講，就是尋求與去噪后的數據點（xi'，yi'）（i=0,1,…，m）的距離平方和為最小的曲線y=p（x）（如圖1）。函數p（x）稱為擬合函數或最小二乘解，求擬合函數p（x）的方法稱為觀測數據擬合的最小二乘估計。

圖1 最小二乘擬合

曲線擬合函數的構造。設M=span{x1，x2，…，xn}為內積空間U的n維線性子空間，x∈U。又設為x在M中的最佳逼近，則根據投影性質，應有：

可由下面方程式求出：

由于x1, x2,…, xn線性無關，所以，

故方程組有唯一解，

從而可求出x在M中的最佳逼近元，即

基于小波變換預處理的最小二乘估計的步驟：

1）變形觀測數據的小波分解。信號的小波分解，先確定分解所用的小波函數（根據數據的平滑需要和噪聲模型的適應性），確定分解的層數，然后按要求對變形觀測數據進行分解。

2）閾值處理。選擇合適的閾值，對第一層到第m層的細節信號進行閾值處理以去噪。在閾值處理中，最主要的是閾值的選取，它直接關系到信號和噪聲的降噪質量，閾值選取不恰當會把有用的信號消除或者達不到去噪的目的。因此，要根據觀測數據的噪聲類型選擇閾值范圍。同時，選擇理想的小波函數，以達到去噪的最優效果[6]。

3）小波重構。把低頻部分和已經閾值處理過的高頻部分進行重構，就得到去噪后的真正變形信號。

4）利用去噪后的變形觀測數據進行最小二乘估計的模型構造。

4 實例分析

某地鐵工程中的一個基坑，共觀測了19期數據，數據精度足夠，各基坑點布設如圖2。本文小波預處理采用具有緊支集正交小波基的Daubechies小波，2層分解與重構，采用最大最小閾值去噪模式。

圖 2 基坑點布設圖

其原始觀測的累計變形如圖3。

圖 3 累計變形圖

經過小波去噪后，各基坑變形點累積變形圖如圖4。

圖4 小波去噪后累積變形圖

不同的變形點，其變形階段不同，發展趨勢線也不同，在最小二乘估計時也應采取不同的函數進行逼近擬合[7]。下面以L(3)點、M(2)點作為典型進行分析。

L(3)點的變形曲線和擬合曲線見圖5。最后求得最小二乘擬合函數為：

為判斷擬合的準確度，我們采取比較通用的數據估計均方差的評判標準：去噪后數據與最小二乘擬合數據的均方差為0．350 195，原始數據與最小二乘擬合數據的均方差為1．053 584，各點擬合均方差平方見圖6。從數據標準差的角度看，去噪后最小二乘估計不僅提高了估計的精度，還取得比采用原始觀測數據擬合高很多的數據均方差。